Chứng minh
\(\frac{1}{2^{2+}}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+........+\frac{1}{2^n}<1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 7 2019
Mik lười quá bạn tham khảo câu 3 tại đây nhé:
Câu hỏi của nguyen linh nhi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
22 tháng 7 2019
\(S=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38\cdot39}\)
\(2S=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}-\frac{1}{38\cdot39}\)
\(2S=\frac{1}{2}-\frac{1}{38\cdot39}\)
\(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot38\cdot39}< \frac{1}{4}\)
Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}\)
=> \(2A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\)
=> \(2A-A=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}\right)\)
=> \(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}\)
=> \(A=\frac{2^n}{2^n.2}-\frac{2}{2^n.2}=\frac{2^n-2}{2^n.2}=\frac{2^n+\left(-2\right)}{2^n+2^n}\)
Vì -2 < 2n => \(2^n+\left(-2\right)<2^n+2^n\) => \(\frac{2^n+\left(-2\right)}{2^n+2^n}<1\) => \(A<1\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}<1\) (đpcm)