1. cho a,b>0 là các số thỏa mãn a+b=2 CMR A^4+B^4>=A^3+B^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
0
QV
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2021
1.
- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)
- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)
\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)
2.
\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)
\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)
\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai
Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút
Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)
DV
0
DH
0
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=a^2+b^2-ab\ge a^2+b^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le8\)
\(a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow-ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=a^2+b^2-ab\le a^2+b^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{3\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\le a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\le a^2+b^2\le4\)
Ta có:
\(a^4+b^4\ge a^3+b^3\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\) (vì \(a+b=2\))
\(\Leftrightarrow\) \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^4-a^3b-ab^3+b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) \(\left(2\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(2\right)\) luôn đúng (do \(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\) ), mà các phép biến đổi trên tương đương nên bất đẳng thức \(\left(1\right)\) được chứng minh.
Đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)