Question

[Linh Bùi]

Cho đường tròn (O,R) dây cung MN (MN<2R) .Trên tia dối của tia MN lấy điểm A. từ A kẻ tiếp tuyến AAB<AC tới đường tròn O.

a) Cm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường trong. CHỈ rõ tâm O' và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

b) Cm AB²  =AC² =AM.AN

c) GỌi I là trung điểm của MN. Kẻ BI cắt dường tròn tại E. Cm EC song song với AN

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Sửa đề: A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

⇔A,B,O,C∈(O')

Ta có: ΔABO vuông tại B(AB⊥OB tại B)

nên B nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔACO vuông tại C(OC⊥AC tại C)

nên C nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

⇔B,C,A,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

mà B,C,A,O∈(O')(cmt)

nên O' là tâm của đường tròn đường kính AO

hay O' là trung điểm của AO

⇔Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là OB

b) Xét (O) có

\(\widehat{ACM}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung MC

\(\widehat{MNC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{MC}\)

Do đó: \(\widehat{ACM}=\widehat{MNC}\)(Hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)

Xét ΔAMC và ΔACN có 

\(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)(cmt)

\(\widehat{MAC}\) chung

Do đó: ΔAMC∼ΔACN(g-g)

⇔\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{AN}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AC^2=AM\cdot AN\)(3)

Xét (O) có

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(AB^2=AC^2\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AB^2=AC^2=AM\cdot AN\)(đpcm)