Cho đường tròn tâm O bán kính R có đường kính AB và 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Một tiếp tuyến khác tại M cắt Ax ở C và By ở Da, CM: CD = AC BDb, Tam giác CDO vuôngc...

0

MP

Minh Phươngk9

13 tháng 12 2023

CHo đường tròn (O,R) có đường kính AB và 2 tiếp tuyến Ax,By.Một tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D

a,Chứng minh CD=AC+BD

b,Chứng minh tam gác COD vuông

c,Chứng minh AB^2=4AC.BD

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 12 2023

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

DO đó: DB=DM và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Ta có: CM+MD=CD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>ΔOCD vuông tại O

c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

=>\(\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2=AC\cdot BD\)

=>\(\dfrac{AB^2}{4}=AC\cdot BD\)

=>\(AB^4=4\cdot AC\cdot BD\)

PT

Pham Trong Bach

31 tháng 12 2019

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB

1

CM

Cao Minh Tâm

31 tháng 12 2019

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

cho nữa đường tròn đường kính AB. trên cùng 1 mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. gọi M là một điểm bất kì thuộc nữa đường tròn tâm O, tiếp tuyến tại M cắt Ax tại C, cắt By tại Da, Cmr CD=AC+BDb, tính góc CODc,Cmr AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CDd, tìm giá trị của M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ...

R

rtehrttrtr

14 tháng 12 2023

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 12 2023

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

c: Gọi N là trung điểm của CD

Vì ΔOCD vuông tại O

nên ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

=>ΔCOD nội tiếp (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC

=>ON//AC//BD

Ta có: ON//AC

AC\(\perp\)AB

Do đó: ON\(\perp\)AB

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

NT

Nguyen thi vy

22 tháng 12 2022

Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Trên cùng 1 nửa mặt phảng bờ AB vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. M là 1 điểm ở trên đường tròn sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax tại C , By tại D a)ABDC là hình gì? Vì sao? b)cm : góc ABM=90° c)cm: AC + BD=CD

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

12 tháng 1 2023

a: Xét tứ giác ABDC có

AC//BD

góc CAB=90 độ

Do đó: ABDC là hình thang vuông

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

c: Xét (O) có

CA,CM là tiêp tuyến

nên CA=CM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB

CM+MD=CD

=>AC+BD=CD

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By (Ax, By có nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) gọi M là 1 điểm thuộc đường tròn(AM<BM). Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn tại Ax, By lần lượt ở C và Da) Tính số đo góc CODb) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với...

N

nunehhh

11 tháng 1 2021

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

11 tháng 1 2021

a) Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)

và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{DOM}+2\cdot\widehat{COM}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{DOM}+\widehat{COM}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DOM}+\widehat{COM}=90^0\)

mà \(\widehat{DOM}+\widehat{COM}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC, OD)

nên \(\widehat{COD}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{COD}=90^0\)

b) Gọi E là trung điểm của CD

Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét ΔCOD cân tại O(cmt) có OE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(E là trung điểm của CD)

nên \(OE=\dfrac{CD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(CE=ED=\dfrac{CD}{2}\)(E là trung điểm của CD)

nên EO=EC=ED

⇒O∈(E)

Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O))

BD⊥BA(BD là tiếp tuyến có B là tiếp điểm của (O))

Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác ACDB có AC//DB(cmt)

nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và DB(Định nghĩa hình thang)

Xét (O) có AB là đường kính(gt)

nên O là trung điểm của AB

Xét hình thang ACDB(AC//DB) có

E là trung điểm của CD(gt)

O là trung điểm của AB(cmt)

Do đó: OE là đường trung bình của hình thang ACDB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒OE//AC//DB và \(OE=\dfrac{AC+DB}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: OE//AC(cmt)

AC⊥AB(AC là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O))

Do đó: OE⊥AB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

mà O∈AB(O là trung điểm của AB)

nên OB⊥OE tại O

Xét (E) có

O∈(E)(cmt)

OB⊥OE tại O(cmt)

Do đó: OB là tiếp tuyến của (E)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn)

⇔AB là tiếp tuyến của (E)

hay đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB(Đpcm)

1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D.a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.c) Kẻ MH⊥AB tại H. Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm I của...

KG

KYAN Gaming

29 tháng 7 2021

1

AT

An Thy

29 tháng 7 2021

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

undefined

Đúng(2)

KA

Khánh An Ngô

27 tháng 8 2023

Cho nửa mặt phẳng đường tròn đường kính AB. vẽ tiếp tuyến Ax; By ở cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường kính. Tiếp tuyến tại M thuộc nửa (O) cắt Ax; By lần lượt tại C và D.

a/ AC+BD=CD

b/ góc COM và góc MOD phụ nhau

c/ AC.BD=\(R^2\)

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

27 tháng 8 2023

a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

=>CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

CM+MD=CD

mà CM=CA và DM=DB

nên CA+DB=CD

b: Từ (1), (2) suy ra góc COM+góc DOM=1/2(góc MOA+góc MOB)

=1/2*180=90 độ

=>góc COM và góc DOM là hai góc phụ nhau

c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên MC*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2

cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chưa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax và By . Điểm M thuộc (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D.a) Cm: CD= AC+BDb) Cm: OC vuông AMc) Gọi E là giao điểm AM và Oc, F là giao điểmcủa BM và OD . Tứ giác MÈO là hình gì? Tại...

1T

10.Trần Thị Thu Giang 9/2

15 tháng 11 2021

1

QP

Q Player

15 tháng 11 2021

a) Nối B với M

Xét tam giác OBM,có:

OB=OM(Cùng là bán kính)

=>Tam giác OBM cân tại O

=>Góc OMB=Góc OBM (2gocs tương ứng)

Ta có:By tiếp tuyến với đg tròn (O) tại B

=>Góc OBy=90^o(t/c...)

Hay góc OBC=90^o (C∈By)

CD tiếp tuyến với đg tròn (O)

=>Góc OMD=góc OMC=90^o(t/c...)

Ta có:OBM+MBD=OBD

OMB+BMD=OMD

MàOBM=OMB (cmt)

OBD=OMD (=90^o)

=>MBD=BMD

Xét tam giác BMD, có:

MBD=BMD (cmt)

=>Tam giác BMD cân tại D

=>BD=MD (2 cạnh tương ứng)

Nối A với M

Xét tam giác AOM,có:

OA=OM (cùng là R)

=>TAm giác OAM cân tại O

=>OAM=OMA(2 góc tương ứng)

Ta có :Ax tiếp tuyến với đg tròn (O) tại A

=>OAx=90^o

HayOAC=90^o (C∈Ax)

Ta có :OAM+MAC=OAC

OMA+AMC=OMC

Mà:OAM=OMA(cmt)

OAC=OMC(=90^o)

=>MAC=AMC

Xét tam giác ACM,có:

MAC=AMC(cmt)

=>Tam giác ACM cân tại C

=>AC=CM(2 cạnh tương ứng)

Ta có:CM+MD=CD

Mà:CM=AC(cmt)

MD=BD(cmt)

=>AC+BD=CD

b)Gọi E là gđ của AM và CO

Ta có : AC cắt CM tại C

Mà AC và CM là tiếp tuyến của đg tròn (O)

=>AC=MC;CO là p/g của ACM(...)

Vì CO là p/g của ACM(cmt)

=>ACO=MCO

Hay ACI=MCI

Xét tam giác ACI và tam giác MCI,có:

AC=MC(cmt)

ACO=MCO(cmt)

CI là cạnh chung

=>Tam giác ACI=Tam giác MCI(c.g.c)

=>AIC=MIC(2 góc tương ứng);AI=MI

Ta có:AIC+MIC=180^o(2 góc bù nhau)

Mà AIC=MIC(cmt)

=>AIC=90^o

=>OC⊥AM tại I

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm M sao cho MB = R. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và By cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C và D. a) CM tứ giác OBDM nội tiếp b) BC cắt đường tròn tại F ( F khác B) . Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt By tại E . CM EF là tiếp tuyến của...

N

ndbh

28 tháng 2 2023

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

6 tháng 3 2023

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF