Cho (O) đường kính AB. Vẽ Bx là tiếp tuyến với đường tròn. Trên tia Bx lấy M, vẽ tiếp tuyến MC với (O) ( C là tiếp điểm)
a, CN: OM _|_ BC
b, BC cắt OM tại I. Gọi H là trung điểm AC, tia OH cắt MC tại N. Tứ giác OHCI là nhình gì? Vì sao?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có:
Bx là tiếp tuyến của (O)
MC là tiếp tuyến của (O)
=>BM=MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> M thuộc đường trung trực của BC (1)
OB=OC=R
=> O thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) => OM là đường trung trực của BC => OM vuông góc với BC (đpcm)
b,
Xét tam giác AHO và CHO có:
AH = HC (gt)
HO chung
OA = OC ( = R)
=> Tam giác AHO = tam giác CHO (c.c.c)
=>Góc AOH = góc COH
Có: Góc COM = góc BOM (tính chất 2 tiếp tuyến Bx và MC cắt nhau)
Góc AOH + góc HOC + góc COM + góc MOB = 180 độ
<=> 2 HOC + 2 MOC = 180 độ
<=> 2 (HOC+MOC) = 180 độ
<=> HOC + MOC = 90 độ
Hay HOI = 90 độ
OM vuông góc với BC (cmt)
=>Góc OIC = 90 độ
Xét (O) có điểm C nằm trên đường tròn => Góc ACB = 90 độ (góc nt chắn nửa đường tròn)
Hay góc HCI = 90 độ
Xét từ giác HOIC có:
Góc HOI = 90 độ
Góc OIC = 90 độ
Góc HCI = 90 độ
=> Tứ giác HOIC là hình chữ nhật
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>AB\(\perp\)AC
mà OM\(\perp\)AC
nên OM//AB
b: ΔOAC cân tại O
mà OM là đường cao
nên OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\)
Xét ΔOAN và ΔOCN có
OA=OC
\(\widehat{AON}=\widehat{CON}\)
ON chung
Do đó: ΔOAN=ΔOCN
=>\(\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=90^0\)
=>CN là tiếp tuyến của (O)
c:
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{ABC}=2\cdot60^0=120^0\)
Xét ΔBAC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(\dfrac{AC}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(AC=R\sqrt{3}\)
ΔOAN=ΔOCN
=>NA=NC(1)
Xét tứ giác OANC có
\(\widehat{OCN}+\widehat{OAN}=90^0+90^0=180^0\)
nên OANC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AOC}+\widehat{ANC}=180^0\)
=>\(\widehat{ANC}=180^0-120^0=60^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔNAC đều
=>\(S_{NAC}=\dfrac{AC^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\cdot3\sqrt{3}}{4}\)
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Ta có: AC⊥CB
OD⊥CB
Do đó: AC//OD
a: Xét (O) có
MC,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MC=MB
=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BC
=>MO\(\perp\)BC
b: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>BC\(\perp\)AC tại C
=>BC\(\perp\)AN tại C
=>ΔBNC vuông tại C
Ta có: \(\widehat{NCM}+\widehat{MCB}=\widehat{NCB}=90^0\)
\(\widehat{CNM}+\widehat{CBM}=90^0\)(ΔNCB vuông tại C)
mà \(\widehat{MCB}=\widehat{MBC}\)
nên \(\widehat{NCM}=\widehat{CNM}\)
=>ΔMNC cân tại M
=>MN=MC
mà MC=MB
nên MN=MB
=>M là trung điểm của BN
c: ta có: CH\(\perp\)AB
NB\(\perp\)BA
Do đó: CH//NB
Xét ΔANM có CI//NM
nên \(\dfrac{CI}{NM}=\dfrac{AI}{AM}\left(3\right)\)
Xét ΔAMB có IH//MB
nên \(\dfrac{IH}{MB}=\dfrac{AI}{AM}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{CI}{NM}=\dfrac{IH}{MB}\)
mà NM=MB
nên CI=IH
=>I là trung điểm của CH
a: ΔOAC cân tại O có OM là đườg cao
nên OM là phân giác của góc AOC
Xét ΔOAM và ΔOCM có
OA=OC
góc AOM=góc COM
OM chung
=>ΔOAM=ΔOCM
=>góc OCM=90 độ
=>MC là tiếp tuyến của (O)
b: Xét ΔAND vuông tại N và ΔANB vuông tại N có
AN chung
góc NAB=góc NAD
=>ΔAND=ΔANB
=>DN=BN
=>N là trung điểm của BD
c: CN//AB
AB vuông góc CH
=>CN vuông góc CH
=>CN là tiếp tuyến của (O)
a) Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)
b) Xét ΔABC vuông tại C có
\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(\widehat{ABC}=30^0\)
Vậy: \(\widehat{ABC}=30^0\)
c)
Xét ΔOBC có OB=OC(=R)
nên ΔOBC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔOBC cân tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)
nên OM là đường phân giác ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)
hay \(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)
Xét ΔBON và ΔCON có
OB=OC(=R)
\(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)(cmt)
ON chung
Do đó: ΔBON=ΔCON(c-g-c)
⇒\(\widehat{OBN}=\widehat{OCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{OBN}=90^0\)(NB⊥OB tại B)
nên \(\widehat{OCN}=90^0\)
hay NC⊥OC tại C
Xét (O) có
OC là bán kính
NC⊥OC tại C(cmt)
Do đó: NC là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)
a) Dễ thấy: góc MQA=90độ
MA, MC là 2 tiếp tuyến nên MO vuông góc với AC hay góc MIA=90 độ
suy ra AIQM là tứ giác nội tiếp
b) AIQM là tứ giác nội tiếp nên: góc IMQ = góc QAI
mà góc QAI = góc QBC nên góc IMQ = góc QBC
Hay OM // BC
a: góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ
=>AD vuông góc MB
Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
=>MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc AC tại E
góc AEM=góc ADM=90 độ
=>AEDM nội tiếp
b: Xét ΔMAB vuông tại A có AD vuông góc MB
nên MA^2=MD*MB
a) Xét (O) có
MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
MC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: MB=MC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: MB=MC(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC
hay OM⊥BC(đpcm)
b) Vì OM là đường trung trực của BC nên OM vuông góc với BC tại trung điểm của BC
mà OM cắt BC tại I(gt)
nên I là trung điểm của BC và OI⊥CB tại I
Xét (O) có
AB là đường kính của (O)(gt)
nên O là trung điểm của AB
Xét ΔACB có
H là trung điểm của AC(gt)
O là trung điểm của AB(gt)
Do đó: HO là đường trung bình của ΔACB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HO//CB và \(HO=\dfrac{CB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà I∈CB và \(CI=\dfrac{CB}{2}\)(I là trung điểm của BC)
nên HO//CI và HO=CI
Xét tứ giác OHCI có
HO//CI(cmt)
HO=CI(cmt)
Do đó: OHCI là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành OHCI có \(\widehat{OIC}=90^0\)(OI⊥BC tại I)
nên OHCI là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)