Xét vế trái :
Do a,b,c >0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế của các bđt ta đc:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)
Xét vế phải ta có: a,b,c>0
Áp dụng bđt Cô-si:
\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự ta có:
\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)
\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế của các bđt ta đc:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)
Từ (1) (2) suy ra đpcm
