Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}+8008\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008}=8008\\\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=4034\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(2a+3b=4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)=-4\Leftrightarrow-2506\left(2a+3b\right)=-10024\)
\(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)
\(ĐTXR\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ≥ 1 + a b = 1 + a + b (1)
Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
1 x + 1 y ( x + y ) ≥ 2 1 x . 1 y .2 x y = 4 ⇒ 1 x + 1 y ≥ 4 x + y (2)
Áp dụng (1) và (2) ta có:
P ≥ 4 a 2 + 2 a + b 2 + 2 b + 1 + a + b = 4 a 2 + b 2 + 2 a b + 1 + a + b = 4 ( a + b ) 2 + a + b 8 + 7 ( a + b ) 8 + 1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
a + b = a b ≤ ( a + b ) 2 4 ⇒ ( a + b ) 2 ≥ 4 ( a + b ) ⇒ a + b ≥ 4
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
4 ( a + b ) 2 + a + b 16 + a + b 16 ≥ 3 4 ( a + b ) 2 . a + b 16 . a + b 16 3 = 3 4 ⇒ P ≥ 3 4 + 7 8 .4 + 1 = 21 4
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4
đại khái giống Ngọc thôi, sửa 1 số lỗi
\(P=1-2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)-2abc\)
\(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)\(\Rightarrow\)\(ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)
\(\Rightarrow\)\(P\le1-2a^2b-2bc^2-4abc=1-2b\left(c+a\right)^2\le1-8\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3=\frac{19}{27}\)
ta có ab+bc+ca=(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc
=> a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)=1-2[(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc]
do đó P=2(a2b+b2c+c2a)+1-2[(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc]+4abc
=1-2(ab2+bc2+ca2)
không mất tính tổng quát giả sử a =<b=<c. suy ra
a(a-b)(b-c) >=0 => (a2-a)(b-c) >=0
=> a2b-a2c-ab2+abc >=0 => ab2+ca2=< a2b+abc
do đó ab2+bc2+ca2+abc=(ab2+ca2)+bc2+abc =< (a2b+abc)+b2c+abc=b(a+c)2
với các số dương x,y,z ta luôn có: \(x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\left[\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)^2+\left(\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{z}\right)^2+\left(\sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{x}\right)^2\right]\ge0\)
=> \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\)(*)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
áp dụng bđt (*) ta có:
\(b\left(a+c\right)^2=ab\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{a+c}{2}\right)\le4\left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
=> P=1-2(ab2+bc2+ca2+abc) >= 1-2b(a+c)2 >= 1-2.4/27=19/27
vậy minP=19/27 khi x=y=z=1/3
\(a^2+2ab+b^2=a+b+2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=2\\a+b=-1\end{cases}}\)
mà \(a,b>0\)nên \(a+b=2\Leftrightarrow b=2-a\).
Với \(b=2-a\)thế vào biểu thức \(M\)ta được:
\(M=a^2+3\left(2-a\right)^2+2a-5=4a^2-10a+7=\left(2a-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu \(=\)xảy ra tại \(2a=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=\frac{5}{4}\Rightarrow b=\frac{3}{4}\).