Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh ba điểm S, K, A’ thẳng hàng.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AA′ ⊥ BC. Mặt khác theo giả thiết ta có: SA ⊥ (ABC), do đó SA ⊥ BC.
Từ đó ta suy ra BC ⊥ (SAA′) và BC ⊥ SA′. Vậy SA’ là đường cao của tam giác SBC nên SA’ là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.
b) Vì K là trực tâm của tam giác SBC nên BK ⊥ SC (1)
Mặt khác ta có BH ⊥ AC vì H là trực tâm của tam giác ABC và BH ⊥ SA vì SA ⊥ (ABC).
Do đó BH ⊥ (ABC) nên BH ⊥ SC (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra SC ⊥ (BHK). Vì mặt phẳng (SAC) chứa SC mà SC ⊥ (BHK) nên ta có (SAC) ⊥ (BHK).
c) Ta có
Mặt phẳng (BHK) chứa HK mà HK ⊥ (SBC) nên (BHK) ⊥ (SBC).
SA vuông góc với (ABC)=> SA vuông góc với BC
mà AB vuông góc với BC ( tam giác ABC vuông)
=> BC vg góc với (SAB)=> BC vg góc AH
mà AH vg góc SB
=> AH vg góc (SBC)=> AH vg góc SC
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BH\\BH\perp AC\left(\text{H là trực tâm ABC}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BH\perp SC\) (1)
Lại có I là trực tâm SBC \(\Rightarrow BI\perp SC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(BIH\right)\Rightarrow SC\perp IH\) (3)
Gọi M là giao điểm AH và BC \(\Rightarrow\) M là trung điểm BC (do tam giác ABC đều)
Mà SBC cân tại S (dễ dàng chứng minh SB=SC bằng Pitago) \(\Rightarrow SM\) đồng thời là đường cao trong tam giác SBC hay \(I\in SM\)
\(\Rightarrow IH\in\left(SAM\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AH\perp BC\left(\text{H là trực tâm ABC}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp IH\) (4)
(3); (4) \(\Rightarrow IH\perp\left(SBC\right)\)
b.
\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\)
ABC đều nên H là trực tâm đồng thời là trọng tâm \(\Rightarrow\dfrac{MH}{AM}=\dfrac{1}{3}\) \(\Rightarrow MH=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(\Rightarrow IM=MH.cos\widehat{AMS}=MH.\dfrac{AM}{SM}=\dfrac{a\sqrt{39}}{78}\)
\(V_{IHBC}=\dfrac{IM}{SM}.\dfrac{MH}{AM}.V_{SABC}=\dfrac{1}{117}.\dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{468}\)
SH vuông góc (ABC) => AC vuông góc SH, mà AC vuông góc BH nên AC vuông góc (SHB)
=> SB vuông góc AC, kết hợp với SB vuông góc SA => SB vuông góc SC => SA,SB,SC đôi một vuông góc
Từ đó, theo định lì Pytago và BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\):
\(6\left(SA^2+SB^2+SC^2\right)=3\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\ge3.\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{3}=\left(AB+BC+CA\right)^2\)
