CMR: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)(b,d>0) thì\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
LM
5 tháng 9 2016
Ta có:\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad.ab< bc.ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)(1)
và \(ad< bc\Rightarrow ad.cd< bc.cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
TN
12 tháng 8 2017
Bài 1:
Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
Cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\) (đúng)
Khi a=b=c
3 tháng 5 2018
Đặt \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=k\Rightarrow a< bk;c=dk\Rightarrow a+c< bk+dk=\left(b+d\right)k\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{\left(b+d\right)k}{b+d}=k\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
22 tháng 10 2018
Ta có : \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}\)
<=> \(a\left(b+d\right)>b\left(a+c\right)\)
<=> \(ab+ad>bc+ba\)
<=> \(ad>bc\)[ Đoạn này ta thấy ba bên vế trái và vế phải giống nhau nên rút gọn bớt đi ]
<=> \(a>b\)
=> \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}\)
7 tháng 8 2018
đặt \(k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=k\)
mà \(k=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)(đpcm)
b) đặt \(k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{b-d}=\frac{bk-dk}{b-d}=\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{b-d}=k\)
mà \(k=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{b-d}=\frac{c}{d}\)(đpcm)
10 tháng 2 2018
a, Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha
P
30 tháng 11 2017
áp dung bdt 1/x+1/y>=4/x+y ta co
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+...\)
=(a+c)(\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\)) + (b+d)(\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\))\(\ge\)\(\frac{4a+4c}{a+b+c+d}+\frac{4b+4d}{a+b+c+d}\)=4(dpcm)
30 tháng 11 2017
= \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)
PO
1
GD
30 tháng 11 2019
Theo t/c tỉ lệ thức ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) (1)
Mặt khác : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) (3)
Tương tự :
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{a+b}{a+b+c+d}\) (4)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\) (5)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\) (6)
Cộng vế với vế của (3),(4),(5),(6), ta có :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\) (đpcm)