Cho x và y là các số khác 0:
Nếu \(x+y=x.y\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=?\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
0
16 tháng 8 2017
Ờm thì đại khái như vầy , dùng thêm hằng cao cấp mới chơi được =))
Link : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Wikipedia tiếng Việt
Dùng hằng mở rộng số 4
Ta có :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)
Lại có :
\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1^2=1\) (chỗ này dùng cái skill mở rộng)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{ayz}{abc}+\frac{bzx}{abc}\right)=1\)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
Thay 1 vào
=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
9 tháng 1 2018
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Khi đó ta chứng minh được :
\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó ta suy ra :
\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)
\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=xyz\)( ĐPCM )
Hên xui thôi
MA
7 tháng 4 2019
1/y+1/x+1/z=0
=>xy+yz+xz=0(tự cm)
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2=0
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+3xyz=3xyz
x^6+y^6+z^6=(x^2+y^2+z^2)(X^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2z^2)+3(xyz)^2=3(xyz)^2
=> (x^6+y^6+z^6)/(x^3+y^3+z^3)=3(Xyz)^2/3xyz=xyz(dpcm)
N
7 tháng 4 2019
:D???? ể??
\(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-y-z\\y=-z-x\\z=-x-y\end{cases}}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
\(\hept{\begin{cases}xy=\left(-y-z\right).y=-y^2-zy\\yz=\left(-x-z\right).z=-z^2-xz\\xz=\left(-y-x\right).x=-x^2-xy\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+zx=-\left(x^2+y^2+z^2+xz+xy+zy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0??????\)
p/s: ko biết t lỗi hay đề lỗi ((:
LN
26 tháng 3 2019
Có: \(x+y+z=0\)
CM được: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+xz+yz\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3\left(xy+yz\right)\left(xz+yz\right)\left(xz+xy\right)=0\)(từ CT: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)(Thế x+y=-z ; y+z=-x và x+z=-y)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=3x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=6x^2y^2z^2\)(1)
Có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+z^6+2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=9x^2y^2z^2\)(2)
Từ (1) và (2):
Có: \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)
Cho nên: \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)
T
28 tháng 1 2019
Nháp thử trước nhé: (thường gọi là định hướng làm bài)
Thêm đk: x,y>0
Ta thử khai thác giả thiết:
Biến đổi vế trái giả thiết,ta có:
\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}-1=3\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{y^2}{4}+1\right)+\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right)-1=3\)
\(3\ge x^2+2\sqrt{\frac{y^2}{4}.1}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.x^2}-1\)
\(\Leftrightarrow3\ge x^2+y+1\)\(\Leftrightarrow2\ge x^2+y\)
\(\Leftrightarrow2\ge x^2+\frac{y^2}{y}\ge2\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\)
Suy ra \(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\le1\Leftrightarrow\frac{\left(xy\right)^2}{y}\le1\Rightarrow\left(xy\right)^2\le y\Rightarrow P=xy\le\sqrt{y}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2};y=2\)
Có dấu "=" rồi => dễ tìm min hơn :v
T
28 tháng 1 2019
à không,nãy nhầm rồi.Thử lại:
\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{y^2}{4}+1\right)+\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right)-1=4\)
\(4\ge x^2+2\sqrt{\frac{y^2}{4}.1}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.x^2}-1\)
\(\Leftrightarrow4\ge x^2+y+1\Leftrightarrow3\ge x^2+y\)
hay \(3\ge x^2+\frac{y^2}{y}\ge2\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\le\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(xy\right)^2}{y}\le\frac{9}{4}\Rightarrow\left(xy\right)^2\le\frac{9y}{4}\Leftrightarrow xy\le\sqrt{\frac{9y}{4}}\) :v
8 tháng 12 2016
Từ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1^2\)
\(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^2+2\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)\frac{z}{c}+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\left(\frac{x}{a}\right)^2+2\frac{x}{a}\frac{y}{b}+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(2\frac{x}{a}+2\frac{y}{b}\right)\frac{z}{c}+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{2xz}{ac}+\frac{2yz}{bc}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
\(\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+\left(\frac{2xy}{ab}+\frac{2xz}{ac}+\frac{2yz}{bc}\right)=1\)
\(\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+\frac{2xyz}{abc}\left(\frac{c}{z}+\frac{b}{y}+\frac{a}{x}\right)=1\)
\(\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+\frac{2xyz}{abc}.0=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(ĐPCM\right)\)
VL
24 tháng 12 2018
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)\)
\(=1-2.\frac{cxy+bxz+ayz}{abc}=1-2.0=1\)
15 tháng 8 2020
BĐT CẦN CM
<=> \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
<=> \(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge9xyz\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ TA ĐƯỢC:
\(\hept{\begin{cases}xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\end{cases}}\)
NHÂN 2 BĐT ĐÓ LẠI TA ĐƯỢC:
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=9xyz\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
PN
15 tháng 8 2020
Đây là bất đẳng thức Svacxo nhé
và đây là dạng tổng quát và cách chứng minh
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Ta có : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(*)
\(< =>\left(a^2x+b^2y\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(< =>\left(bx-ay\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có :
\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
\(x+y=xy\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)