Bài 1: a. Tìm các số dương x, y thỏa mãn:$\frac{1}{x} \frac{4}{y}\le3$và x y=3b. Cho a, b, c là các số dương thòa mãn diều kiện a b c=3. Tìm GTNN cùa biểu thức \(\frac{1}{\sqrt{a}} \frac{1}{\sqrt{b}...

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3$Giả sử b là số nằm giữa a và c thì $\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2$

Ta sẽ chứng minh: $b\left(3-b\right)^2\le4$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0$(đúng với mọi $b\in[0;3]$)

Từ đó suy ra $\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5$

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Đúng(0)

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 10 2020

Bài 1: Đặt $a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)$thì điều kiện giả thiết trở thành $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4$

Khi đó $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$$=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$

Có: $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)$

Đặt $t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2$(do t > 0)

Lúc đó $P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$với $2\le t< 3$

Vậy $MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$đạt được khi $t=\sqrt{6}$hay (x; y) là nghiệm của hệ $\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}$

Ta lại có $P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1$(do $2\le t< 3$)

Vậy $MaxP=1$đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

Đúng(0)

QT

Quyết Tâm Chiến Thắng

10 tháng 9 2019 - olm

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau$a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}$$b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}$Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt$a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}$ $b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}$Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn $x^2+y^2=4$ Tìm GTNN của...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

4

N

Nyatmax

11 tháng 9 2019

1a

$A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}$

$\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}$

Dau '=' xay ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Vay $A_{min}=\frac{161}{16}$

Đúng(0)

N

Nyatmax

11 tháng 9 2019

1b.$B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}$

$\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}$

Dau '=' xay ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Vay $B_{min}=\frac{769}{128}$khi $a=b=\frac{1}{2}$

Đúng(0)

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020 - olm

Bài 1:Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: $\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}$Bài 2:Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của $G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}$Bài 3:Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

2

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Bài 1: diendantoanhoc.net

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ BĐT cần chứng minh trở thành

$\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}$

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

$ {\displaystyle \displaystyle \sum }$$_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2$$ {\displaystyle \displaystyle \sum }$$\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}$

$=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}$

$=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}$

$\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}$

$=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}$

Đúng(0)

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Bổ sung bài 1:

BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Đúng(0)

PM

Phạm Minh

16 tháng 6 2020 - olm

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x²- 2xy - x + y + 3 = 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( y²+1 )( 2x²+x+1) = x+5
Bài 3: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a + b = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = $\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{4-b^2}}$

#Toán lớp 9

8

PM

Phạm Minh

16 tháng 6 2020

Ai giúp em với ạ

Đúng(0)

NL

Nguyễn Linh Chi

16 tháng 6 2020

1. Ta có: $x^2-2xy-x+y+3=0$

<=> $x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0$

<=> $\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}$

<=> $\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}$

<=> $\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11$

Th1: $\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}$

Th2: $\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}$

Th3: $\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}$

Th4: $\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}$

Kết luận:...

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hữu Khôi

30 tháng 8 2021 - olm

Bài 1: Cho a,b dương và $2a+3b=ab$ Chứng minh rằng $a+b\ge5+2\sqrt{6}$Bài 2: Cho a,b dương và $a+b=ab$ Tìm giá trị lớn nhất của$S=\frac{1}{a}+\frac{2}{a+b}$Bài 3: Cho a,b là các số dương. Tìm giá trị bé nhất của$S=\frac{a^2+b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2}{a^2+2b^2}$Bài 4: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=9$Chứng minh rằng$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\le\sqrt{3}$Bài 5: Cho ba số...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

NH

Nguyễn Hữu Khôi

30 tháng 8 2021

B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hữu Khôi

31 tháng 8 2021

Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.

Đúng(0)

NA

Ngo Anh

4 tháng 7 2019 - olm

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$Bài 2: Tìm các số thực x$\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3\\ \sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

LL

loan leo

11 tháng 12 2016 - olm

1. Cho các số $a,b,c$dương thỏa mãn $ab+ac+bc=1$CMR : P= $\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{9}{4}$2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1Tìm GTLN của biểu thức $A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$3. Giải pta) $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$b)$CM:\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}$c) Cho đường thẳng y=...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

15 tháng 11 2020

4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2$

Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0

Đúng(0)

S

senorita

26 tháng 3 2019 - olm

1. Cho a,b,c là các số dương a+b+c=1. Tìm GTLN của P=$\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$

2. Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2. Chứng minh

$x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le2$

#Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Linh Chi

27 tháng 3 2019

Ta có: $\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}$

$=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)$( bđt Cosi)

Tương tự như trên: $\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)$

=> $P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}$

"=" Xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b$

$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c$

$\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c$

$a+b+c=1$

Từ các điều trên ta có đc: $a=b=c=\frac{1}{3}$

Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Đúng(0)

TT

tống thị quỳnh

10 tháng 8 2017 - olm