Chứng minh với mọi số tự nhiên n , các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau:
1) 7n + 10 và 5n + 7.
2) 2n + 3 và 4n + 8.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 11 2016
a)Gọi ƯCLN(3n+5;2n+3)=d
=> 3n+5 chia hết cho d => 2(3n+5) chia hết cho d hay 6n+10 chia hết cho d
=>2n+3 chia hết cho d => 3(2n+3) chia hết cho d=> 6n+9 chia hết cho d
=>6n+10-(6n+9) chia hết cho d
=>1 chia hết cho d hay d=1
Do đó, ƯCLN(3n+5;2n+3)=1
Vậy 3n+5; 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau
b)Gọi ƯCLN(5n+2;7n+3)=a
=>5n+2 chia hết cho a => 7(5n+2) chia hết cho a=> 35n+14 chia hết cho a
=>7n+3 chia hết cho a =>5(7n+3) chia hết cho a=> 35n+15 chia hết cho a
=> 35n+15-(35n+14) chia hết cho a
=>1 chia hết cho a hay a=1
Do đó, ƯCLN(5n+2;7n+3)=1
Vậy 5n+2 và 7n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau
2 tháng 12 2017
a) Gọi d là ƯCLN(3n+5, 2n+3), d \(\in\)N*
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+5⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n+5\right)⋮d\\3\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n+10⋮d\\6n+9⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(3n+5,2n+3\right)=1\)
\(\Rightarrow\) 3n+5 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi d là ƯCLN(5n+2,7n+3), d \(\in\)N*
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+2⋮d\\7n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}7\left(5n+2\right)⋮d\\5\left(7n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}35n+14⋮d\\35n+15⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(35n+15\right)-\left(35n+14\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(5n+2,7n+3\right)=1\)
\(\Rightarrow\) 5n+2 và 7n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
10 tháng 11 2016
a)Gọi UCLN(3n+5;2n+3)=d
Ta có:
[2(3n+5)]-[3(2n+3)] chia hết d
=>[6n+10]-[6n+9] chia hết d
=>1 chia hết d
=>3n+5 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
b)Gọi UCLN(5n+2;7n+3)=d
Ta có:
[5(7n+3)]-[7(5n+2)] chia hết d
=>[35n+15]-[35n+14] chia hết d
=>1 chia hết d
=>5n+2 và 7n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau
VH
1
20 tháng 11 2021
a) Gọi ƯCLN( 2n+3; 4n+8)=d \(\left(d\in N\cdot\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+3\right)⋮d\\\left(4n+8\right)⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4n+6\right)⋮d\\\left(4n+8\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2⋮d\Leftrightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)
Nếu \(d=2\) thì \(\left(2n+3\right)⋮2\), vô lý
\(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)
Vậy ta có đpcm.
b) Gọi ƯCLN(7n+3;5n+2)=d \(\left(d\in N\cdot\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(7n+3\right)⋮d\\\left(5n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\left(7n+3\right)⋮d\\7\left(5n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(35n+15\right)⋮d\\\left(35n+14\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)
nên ƯCLN(7n+3;5n+2)=1
Vậy ta có đpcm.
16 tháng 8 2017
Gọi d = ƯCLN ( 5n+6 ; n+1 )
=> \(5n+6⋮d;n+1⋮d\)
=> \(5n+6⋮d;5.\left(n+1\right)⋮d\)
=> \(5n+6⋮d;5n+5⋮d\)
=> \(\left(5n+6\right)-\left(5n+5\right)⋮d\)
=> \(5n+6-5n-5⋮d\)
=> \(1⋮d\)
=> \(d=1\)
=> ƯCLN ( 5n+6 ; n+1 ) = 1
=> 5n+6 và n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n ( đpcm )
Vậy bài toán được chứng minh !
Cbht ❤️
16 tháng 8 2017
Đặt ƯCLN(5n+6,n+1)=d
Ta có: \(n+1⋮d\Rightarrow5\left(n+1\right)⋮d\)\(\Rightarrow5n+5⋮d\)
mà: \(5n+6⋮d\)
\(\Rightarrow\left(5n+6\right)-\left(5n+5\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d\in\)Ư(1)
Mà d lớn nhất=> d=1 =>ƯCLN(n+1,5n+6)=1
=>. n+1 và 5n+6 là 2 số nguyên tố cùng nhau\(\forall n\in Z\)
LC
9 tháng 9 2015
Gỉa sử n=3=>3n+1=3.3+1=9+1=10
4n+2=4.3+2=12+2=14
mà (10,14)=2
=>Vô lí
Bạn xem lại đề nha.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 1
a,
Gọi \(d=ƯC\left(n+1;2n+3\right)\) với \(d\in N\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2n+3-2\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+3\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)
Các câu sau em biến đổi tương tự
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1
Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;4n+8\right)\) với \(d\in N\)
Do \(2n+3\) luôn lẻ \(\Rightarrow d\) lẻ
\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow4n+8-2\left(2n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)
Mà d lẻ \(\Rightarrow d=1\)
Vậy 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)
10 tháng 12 2018
gọi UCLN(2n+3, 3n+5) là d
ta có 2n+5 chia hết cho d => 3(2n+3) chia hết cho d <=> 6n+15 chia hết cho d(1)
3n+5 chia hết cho d => 2(3n+5) chia hết cho d <=> 6n+14 chia hết cho d(2)
=> (6n+15) -( 6n+14) chia hết cho d hay 1 chia hết cho d --> 2n+3, 3n+5 ngtố cùng nhau(đpcm)
a) Đề:..........
Gọi d là ƯC của 7n + 10; 5n + 7
=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(7n+10\right)⋮d\\7.\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)
=> (35n + 50) - (35n + 49) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1
Vậy 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Đề:............
Gọi d là ƯC của 2n + 3; 4n + 8
=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2.\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)
=> (4n + 8) - (4n + 6) chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d
=> d thuộc Ư(2)
=> d = {1; 2}
Mà 2n + 3 là số lẻ (không thỏa mãn)
=> 1 chia hết cho d
Vậy 2n + 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.