Question

[KIM TAE HYUNG]

Cho a,b >0 và a +b =1 

Tìm GTNN của C = \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)

Answer 1

[Nobi Nobita]

\(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)

Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:

\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)

Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô si ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{ab}\right)^2\le1\)

\(\Leftrightarrow4ab\le1\)\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow C=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4+2=6\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minC=6\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Phan Nghĩa]

bài này đã có rất nhiều bạn hỏi rồi 

Ta có hai bất đẳng thức phụ quen thuộc sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*) ; \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(**)

BĐT(*) \(< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)

BĐT(**)\(< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng

Lại có  \(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ (*) : \(C\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2ab}+4\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ (**)  : \(\frac{1}{2ab}+4\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4=2+4=6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của C = 6 đạt được khi a = b = 1/2