Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai đường thẳng cắt
đường tròn (O) tại các điểm B, C và D, E tương ứng (B nằm giữa A và C, D năm giữa A và E).
Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Đường thẳng AF
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai G. Hai đường thẳng EG và BC cắt nhau tại điểm M. Chứng
minh rằng:
a)
AM/MG = ME/AM
b)\(\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc ACB=1/2*sđ cung AB=90 độ
=>ΔACN vuông cân tại C
góc ACN+góc AMN=180 độ
=>AMNC nội tiếp
b: AMNC nội tiếp
=>góc CNA=góc CMA=góc BMD
góc BNE=1/2(sđ cung BE-sđ cung AC)
góc DMB=1/2*(sđ cung BD-sđ cung AC)
=>sđ cung BD=sđ cung BE
=>B nằm trên trung trực của DE
Xét ΔADB và ΔAEB có
góc ADB=góc aEB
AB chung
DB=BE
=>ΔABD=ΔAEB
=>AD=AE
=>A nằm trên trung trực của DE
=>AB là trung trực của DE
=>DE vuông góc AB
a) Do DF // AC nên \(\widehat{MAG}=\widehat{GFD}\) (Hai góc so le trong) .
Lại có \(\widehat{GFD}=\widehat{GED}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD)
Nên \(\widehat{MAG}=\widehat{GED}\)
Xét tam giác AMG và tam giác EMA có:
\(\widehat{MAG}=\widehat{MEA}\) (cmt)
Góc M chung
Vậy nên \(\Delta AMG\sim\Delta EMA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{MA}{ME}=\frac{MG}{MA}\Rightarrow MA^2=MG.ME\)
b) Do tứ giác ECBG nội tiếp nên \(\widehat{BCE}=\widehat{BGM}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối của tứ giác nội tiếp)
Vậy xét tam giác MGB và MCE có:
\(\widehat{BGM}=\widehat{ECM}\left(cmt\right)\)
Góc M chung
Vậy nên \(\Delta MGB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\)
c) Theo câu a, ta có \(AM^2=MG.ME\)
Theo câu b, \(\Delta MGB\sim\Delta MCE\Rightarrow\frac{MG}{MC}=\frac{MB}{ME}\Rightarrow MG.ME=MB.MC\)
Vậy nên \(MA^2=MB.MC\)
Suy ra \(MA^2+MA.MC=MB.MC+MA.MC\)
\(\Leftrightarrow MA\left(MA+MC\right)=MC\left(MB+MA\right)\)
\(\Leftrightarrow MA.AC=MC.AB\)
\(\Leftrightarrow AB\left(AC-AM\right)=MA.AC\)
\(\Leftrightarrow AB.AC-AB.AM=AM.AC\)
\(\Leftrightarrow AB.AC=AM\left(AB+AC\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AM}=\frac{AB+AC}{AB.AC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)
a: góc OAM+góc OBM=180 độ
=>OAMB nội tiếp
b: Xét ΔMAC và ΔMDA có
góc MAC=góc MDA
góc AMC chung
=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA
=>MA/MD=MC/MA
=>MA^2=MD*MC