Biết : \(ab+bc+ca=0\)
Tính \(S=\frac{ab}{c^2+2ab}+\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 6 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\\ \)
\(\Rightarrow bc=-ab-ac,ca=-ab-bc,ab=-bc-ca\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+bc}{a^2+2bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc+bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc-ca-ab}=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}\)
Làm tương tự. có: \(\frac{b^2+ca}{b^2+2ca}=\frac{b^2+ca}{b^2+ca-ab-bc}=\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}\)
\(\frac{c^2+ab}{c^2+2ab}=\frac{c^2+ab}{c^2+ab-ca-bc}=\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}+\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a^2+bc\right).\left(b-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}-\frac{\left(b^2+ca\right).\left(a-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}+\frac{\left(c^2+ab\right).\left(a-b\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)
Sau đó bạn thực hiện tiếp nhé.
MV
2 tháng 8 2021
Bài 1: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=3\). CMR: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\le3\)
Bài 2: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Bài 3: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=a+b+c\). CMR: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le ab+bc+ca\)
Bài 4: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(4\left(a+b+c\right)^3\ge27\left(ab^2+bc^2+ca^2+abc\right)\)
Bài 5: Cho \(a,b,c\ge0:a+b+c=3\).CMR: \(\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}+\frac{1}{2ab^2+1}\ge1\)
26 tháng 1 2018
+ thêm bớt bc,ca,ab lần lượt cho P ta được
\(P=\frac{a^3}{3a+3bc-\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{b^3}{3b+3ca-\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{c^3}{3c+3ab-\left(ab+ac+bc\right)}+3abc\)
áp dụng BDT cô si cho mẫu ta có
\(3a+3bc\ge2\sqrt{9abc}=6\sqrt{abc}\)
suy ra
\(\frac{a^3}{3a+3bc-\left(ab+ac+bc\right)}\le\frac{a^3}{6\sqrt{abc}-\left(ab+ac+Bc\right)}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra :
\(P\le\frac{a^3}{6\sqrt{abc}-\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{b^3}{6\sqrt{abc}-\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{c^3}{6\sqrt{abc}-\left(ab+ac+bc\right)}+3abc\)
đên đây easy chưa ? chung mẫu + lại với nhau ta được
\(P\le\frac{a^3+b^3+c^3}{6\sqrt{abc}-\left(ab+ac+bc\right)}+3abc\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\) luôn đúng thay vào ta được
ta có \(a^2+B^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\) thêm bớt + hằng đẳng thức
thay vào và đổi dấu ta được
\(P\le\frac{a^3+b^3+c^3}{6\sqrt{abc}-9+2\left(ab+bc+Ca\right)}+3abc\)
có \(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)
\(ca+1\ge2\sqrt{ac}\)
\(bc+1\ge2\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\le ab+bc+ca+3\)
ta lại có
\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\le a+B+c\left(cosi\right)\) suy ra
\(2\left(a+b+c\right)\le ab+bc+ca+3\Leftrightarrow6\le ab+Bc+ca+3\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
suy ra
\(P\le\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{6\sqrt{abc}-9+2\left(3\right)}=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{6\sqrt{abc}-3}\)
\(P\le\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{6\sqrt{abc}-3}+3abc\)
ta có
\(a.a.a\le\frac{\left(a+a+a\right)^3}{27}\)
\(b.b.b\le\frac{\left(b+b+b\right)^3}{27}\)
\(c.c.c\le\frac{\left(c+c+C\right)^3}{27}\)
\(a^3+b^3+c^3\le\frac{\left(3a\right)^3+\left(3b\right)^3+\left(3c\right)^3}{27}\)
bạn ơi chắc là đề sai rồi làm sao có thể đi chứng minh được cái
\(a^3+b^3+c^3\le a+b+c\)
bạn xem lại đi nha @@
LH
16 tháng 4 2019
Ta chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) (a,b,c,x,y,z dương) (Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky))
\(\left[\frac{a^2}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\frac{b^2}{\left(\sqrt{y}\right)^2}+\frac{c^2}{\left(\sqrt{z}\right)^2}\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z^2}\right]\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Ta có:
\(A=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)
\(2A=\frac{2bc}{a^2+2bc}+\frac{2ca}{b^2+2ac}+\frac{2ab}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{a^2+2bc-a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2+2ca-b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2+2ab-c^2}{c^2+2ab}\)
\(=3-\left(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\right)\)
\(\le3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}=3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=3-1=2\)
=> A<=1
KN
19 tháng 7 2020
a,b,c dương
Ta viết lại BĐT thành: \(\frac{1}{\frac{a^2}{bc}+2}+\frac{1}{\frac{b^2}{ca}+2}+\frac{1}{\frac{c^2}{ab}+2}\le1\)
Đặt \(\frac{a^2}{bc}=x;\frac{b^2}{ca}=y;\frac{c^2}{ab}=z\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và ta cần chứng minh \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\le1\)
Xét biểu thức\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\) \(\frac{\left(y+2\right)\left(z+2\right)+\left(z+2\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(y+2\right)}{\left(x+2\right)\left(y+2\right)\left(z+2\right)}\)
\(=\frac{\left(yz+2y+2z+4\right)+\left(zx+2z+2x+4\right)+\left(xy+2x+2y+4\right)}{\left(xy+2x+2y+4\right)\left(z+2\right)}\)
\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{xyz+2\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8}\)\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8}\)\(\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{xyz+3\sqrt{\left(xyz\right)^2}+\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8}\)\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c
HP
10 tháng 7 2016
a,b,c khác nhau đôi một nghĩa là từng cặp số khác nhau ,là:
+a khác b
+b khác c
+c khác a
\(A=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>ab+bc+ac=0\)
Suy ra: \(ab==-\left(bc+ac\right)=-bc-ac\)
\(bc=-\left(ab+ac\right)=-ab-ac\)
\(ac=-\left(ab+bc\right)=-ab-bc\)
Nên \(a^2+2ab=a^2+bc+bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Tương tự,ta cũng có: \(b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Vậy \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
sửa đề thành \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)nhé
Ta dễ có:
\(c^2+2ab=c^2+ab+ab=c^2+ab-bc-ca=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Một cách tương tự:
\(a^2+2bc=\left(a-b\right)\left(a-c\right);b^2+2ca=\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)
Khi đó:
\(S=\frac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\frac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{ca}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\)
Cách đơn giản nhất là quy đồng :)