Cho \(\sin a.\cos a=\frac{1}{4}\). Tính D = \(\sin^4a+\cos^4a\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
1
M
19 tháng 8 2023
Để tính giá trị của sin^4(a) + cos^4(a), ta sử dụng công thức mở rộng (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Áp dụng công thức này cho sin^2(a) và cos^2(a), ta có: sin^4(a) + cos^4(a) = (sin^2(a) + cos^2( a))^2 - 2sin^2(a)cos^2(a) Vì theo công thức lượng giác cơ bản, sin^2(a) + cos^2(a) = 1, từ đó ta có: sin^ 4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) Tuy nhiên, trong bài toán này, ta biết cos(4a) = 1/4. Sử dụng công thức lượng giác: cos(4a) = cos^2(2a) - sin^2(2a) = 1/4 Ta biến đổi biểu thức này để tìm giá trị của sin^2(2a)cos^2( 2a): cos^2(2a) - sin^2(2a) = 1/4 cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a)) = 1/4 2cos^2(2a) - 1 = 1/4 cos^2(2a) = 5/8 Thay giá trị này vào biểu thức trước đó: sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) = 1 - 2sin ^2(a)(5/8) = 1 - 5/4sin^2 (a) Tiếp theo, để tính giá trị của sin^6(a) + cos^6(a), ta nhận thấy rằng (sin^2(a))^3 + (cos^2(a))^3 tương đương với công thức mở rộng (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Thay a = sin^2(a) và b = cos^2(a), ta có: (sin^2(a))^3 + (cos^2(a))^3 = (sin^2(a) ) + cos^2(a))(sin^4(a) - sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a)) = (sin^2(a) + cos^2 ( a))(1 - 5/4sin^2(a)) Vì sin^2(a) + cos^2(a) = 1 nên ta có: (sin^2(a))^3 + (cos^2 (a))^3 = 1 - 5/4sin^2(a) Do đó, giá trị của sin^6(a) + cos^6(a) là 1 - 5/4sin^2(a). Tóm lại, giá trị của sin^4(a) + cos^4(a) là 1 - 5/4sin^2(a) và giá trị của sin^6(a) + cos^6(a) là 1 - 5/4sin^2(a).
HT
31 tháng 7 2019
cái câu 1 kia lạ thật, phần phía trc có ngoặc thì phải nhân vs hạng tử nào đó chứ nhỉ? Và mk tính ra kq là \(-\cos^22\alpha\)
\(VT=\cos^4\alpha+\sin^4\alpha-2\cos^6\alpha-2\sin^6\alpha\)
\(=\sin^4\alpha\left(1-2\sin^2\alpha\right)-\cos^4\alpha\left(2\cos^2\alpha-1\right)\)
\(=\sin^4\alpha.\cos2\alpha-\cos^4\alpha.\cos2\alpha\)
\(=\cos2\alpha\left(\sin^2\alpha.\sin^2\alpha-\cos^4\alpha\right)\)
\(=\cos2\alpha.\left[\left(1-\cos^2\alpha\right)^2-\cos^4\alpha\right]\)
\(=\cos2\alpha.\left(1-2\cos^2\alpha\right)\)
\(=-\cos^22\alpha\)
2/ \(VT=\frac{1-\cos^2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\frac{1}{1+\sin2\alpha}\)
\(VP=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}=\frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)
hmm, câu 2 có vẻ vô lí, bn thử nhân chéo lên mà xem, nó ko ra KQ = nhau đâu
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
1)
\((\cos^4a+\sin ^4a)-2(\cos^6a+\sin ^6a)=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^2a+\sin ^2a)(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)
\(=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)
\(=-(\cos ^4a-2\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)=-(\cos ^2a-\sin ^2a)^2=-\cos ^22a\)
(bạn xem lại đề. Nếu thay $(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thành $3(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thì kết quả thu được là $(\cos ^2a+\sin ^2a)^2=1$ như yêu cầu)
2) Sửa đề:
\(\frac{\sin ^2a-\cos ^2a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{(\sin a+\cos a)^2}\)
\(=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-1}{\frac{\sin a}{\cos a}+1}=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}\)
Bạn lưu ý viết đề bài chuẩn hơn.
QT
1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
Ta có:
\({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}\)
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = \frac{1}{5} - {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = - \frac{3}{5}\)
Ta có:
\({\cos ^2}2a + {\sin ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}2a = \frac{{16}}{{25}}\)
\(\cos 4a = \cos 2.2a = {\cos ^2}2a - {\sin ^2}2a = {\left( { - \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{{16}}{{25}} = - \frac{7}{{25}}\)
CV
15 tháng 7 2018
b,ta có :\(\frac{sin^2a-cos^2a\left(1-cos^2a\right)}{cos^2a-sin^2a\left(1-sin^2a\right)}=\frac{sin^4a}{cos^4a}\)
=>\(\frac{sin^2a-sin^2a.cos^2a}{cos^2a-sin^2a.cos^2a}=\frac{sin^4a}{cos^4a}\)
=>\(\frac{sin^2a\left(1-cos^2a\right)}{cos^2a\left(1-sin^2a\right)}=\frac{sin^4a}{cos^4a}\)
=>\(\frac{sin^4a}{cos^4a}=\frac{sin^4a}{cos^4a}\)luon dung => dpcm
LN
1
30 tháng 4 2019
\(y=\frac{\cos^4a+\sin^2a-\cos^2a}{\sin^4a+\cos^2a-\sin^2a}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\cos^4a+\left(1-\cos^2a\right)-\cos^2a}{\left(\sin^2a\right)^2+\cos^2a-\sin^2a}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\cos^4a+1-2\cos^2a}{\left(1-\cos^2a\right)^2+\cos^2a-\left(1-\cos^2a\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\left(1-\cos^2a\right)^2}{1-2\cos^2a+\cos^4a+2\cos^2a-1}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\left(\sin^2a\right)^2}{\cos^4a}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\sin^4a}{\cos^4a}\)
\(\Leftrightarrow y=\tan^4a\)
Vậy \(y=\tan^4a\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 4 2019
Lời giải:
a)
\(\frac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\frac{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}+1}{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}-1}=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}\)
b)
\(2(\sin ^6a+\cos ^6a)+1=2(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+1\)
\(=2(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+1\)
\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-(\sin ^4a+\cos ^4a+2\sin ^2a\cos ^2a)+1\)
\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-(\sin ^2a+\cos ^2a)^2+1\)
\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-1^2+1=3(\sin ^4a+\cos ^4a)\)
c)
\(\frac{\tan a-\tan b}{cot b-\cot a}=\frac{\tan a-\tan b}{\frac{1}{\tan b}-\frac{1}{\tan a}}\) (nhớ rằng \(\tan x.\cot x=1\rightarrow \cot x=\frac{1}{\tan x}\) )
\(=\frac{\tan a-\tan b}{\frac{\tan a-\tan b}{\tan a\tan b}}=\tan a\tan b\)
d)
\((\cot x+\tan x)^2-(\cot x-\tan x)^2=(\cot ^2x+\tan ^2x+2\cot x\tan x)-(\cot ^2x-2\cot x\tan x+\tan ^2x)\)
\(=4\cot x\tan x=4.1=4\)
e)
\(\frac{\sin ^3a+\cos ^3a}{\sin a+\cos a}=\frac{(\sin a+\cos a)(\sin ^2a-\sin a\cos a+\cos ^2a)}{\sin a+\cos a}\)
\(=\sin ^2a-\sin a\cos a+\cos ^2a=(\sin ^2a+\cos ^2a)-\sin a\cos a=1-\sin a\cos a\)
Vậy ta có đpcm.
NP
1
24 tháng 11 2018
A = \(\dfrac{sin^4\alpha+cos^4\alpha}{sin^4\alpha-cos^4\alpha}\)
= \(\dfrac{\left(sin^2\alpha\right)^2+\left(cos^2\alpha\right)^2}{\left(sin^2\alpha\right)^2-\left(cos^2\alpha\right)^2}\)
= \(\dfrac{\left(sin^2\alpha\right)^2+2sin^2\alpha.cos^2\alpha+\left(cos^2\alpha\right)^2}{\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)\left(sin^2\alpha-cos^2\alpha\right)}\)
= \(\dfrac{\left(sin^2\alpha\right)^2+\left(cos^2\alpha\right)^2+2sin^2\alpha.cos^2\alpha}{sin^2\alpha-cos^2\alpha}\)
= \(\dfrac{\dfrac{1+2sin^2\alpha.cos^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\dfrac{sin^2\alpha-cos^2\alpha}{cos^2\alpha}}\)
= \(\dfrac{1+tan^2\alpha+2tan^2\alpha}{tan^2\alpha-1}\)
= \(\dfrac{1+2^2+2.2^2}{2^2-1}=\dfrac{13}{3}\)
HN
0
sina.cosa=1/4
1/2.sin 2a=1/4
sin2a=1/2
sin2a=sin30
a=15+k2pi ( trường hợp này thì lấy a = 15 độ )
sin^4 (15) + cos ^ 4 (15)
= [ sin^2 (15) + cos^2 (15) ] - 2 sin^2 (15) cos^2 (15)
= 1 - 2.1/4.sin^2(2.15) [ sin^2 (x) . cos^2 (x) = 1/4 sin^2 (2x) ]
= 1 - 1/2.sin(30)
= 1 - 1/2.1/2
= 1 - 1/4
= 3/4