Question

[Phương Linh Đoàn]

Cho t/g ABC cân tại A . Lấy D và E lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho BD = \(\frac{1}{3}\)AB , AC sao cho CE = \(\frac{1}{3}\)AC

a) C/minh : BD=CE

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD . C/minh : t/g IBC cân

c) Trên tia dối của tia BC lấy M sao cho B là trung điểm của MC . Đường thẳng CD cắt AM ở K . C/minh MK=KA

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

mà \(BD=\frac{1}{3}AB\)(gt)

và \(CE=\frac{1}{3}AC\)(gt)

nên BD=CE(đpcm)

b) Xét ΔBDC và ΔCEB có

BD=CE(cmt)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔBDC=ΔCEB(c-g-c)

⇒\(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\)(1)

Xét ΔDIB có \(\widehat{DIB}+\widehat{BDI}+\widehat{DBI}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)(2)

Xét ΔEIC có \(\widehat{EIC}+\widehat{CEI}+\widehat{ECI}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)(3)

mà \(\widehat{DIB}=\widehat{EIC}\)(hai góc đối đỉnh)(4)

nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{DBI}=\widehat{ECI}\)

Xét ΔDIB và ΔEIC có

\(\widehat{DBI}=\widehat{ECI}\)(cmt)

DB=EC(cmt)

\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\)(cmt)

Do đó: ΔDIB=ΔEIC(g-c-g)

⇒IB=IC(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔIBC có IB=IC(cmt)

nên ΔIBC cân tại I(định nghĩa tam giác cân)