Cho đường tròn (O,R) và một điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A , lấy một điểm k cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O, cắt (O) tại hai điểm B và C (B nằm giữa K và C). Gọi M là trung điểm của BC. 1)CMR 4 điểm A,O,M,K cùng nằm trên một đường tròn ,2)CMR KA bình phương =KB.KC=KO bình phương - R bình phương
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM\(\perp\)BC tại M
Xét tứ giác KAOM có
\(\widehat{OAK}+\widehat{OMK}=90^0+90^0=180^0\)
=>KAOM là tứ giác nội tiếp
=>K,A,O,M cùng thuộc một đường tròn
b: AH\(\perp\)BC
OM\(\perp\)BC
Do đó: AH//OM
Xét ΔNAH có
O là trung điểm của NA
OM//AH
Do đó: M là trung điểm của NH
Xét tứ giác BHCN có
M là trung điểm chung của BC và HN
=>BHCN là hình bình hành
c: Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>CN\(\perp\)CA
BHCN là hình bình hành
=>BH//CN
Ta có: BH//CN
CN\(\perp\)CA
Do đó: BH\(\perp\)AC
Xét ΔABC có
BH,AH là các đường cao
BH cắt AH tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
1: Xét (O) có
OI là một phần đường kính
BC là dây
I là trung điểm của BC
Do đó: OI\(\perp\)BC
Xét tứ giác OAMI có
\(\widehat{OAM}+\widehat{OIM}=180^0\)
Do đó: OAMI là tứ giác nội tiếp
hay O,A,M,I thẳng hàng
Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi .
OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh
a, Chú ý: A M O ^ = A I O ^ = A N O ^ = 90 0
b, A M B ^ = M C B ^ = 1 2 s đ M B ⏜
=> DAMB ~ DACM (g.g)
=> Đpcm
c, AMIN nội tiếp => A M N ^ = A I N ^
BE//AM => A M N ^ = B E N ^
=> B E N ^ = A I N ^ => Tứ giác BEIN nội tiếp => B I E ^ = B N M ^
Chứng minh được: B I E ^ = B C M ^ => IE//CM
d, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI
Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = 1 2 AO
Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)
=> G G ' I K = M G M I = M G ' M K = 2 3 I K = 1 3 A O không đổi (1)
MG' = 2 3 MK => G' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G'; 1 3 AO)