Chứng minh:\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 4 2020
2,
a, Nếu 2a + 4 \(\ge\) 2b + 4
thì 2a \(\ge\) 2b hay a \(\ge\) b
b, Nếu 3a - 5 \(\le\) 3b - 5
thì 3a \(\le\) 3b hay a \(\le\) b
3,
a, Nếu a \(\le\) b thì a - b \(\le\) 0 hay 2019(a - b) \(\le\) 0 hay 2019a \(\le\) 2019b hay 2019a + 2020 \(\le\) 2019b + 2020
b, Nếu a \(\le\) b thì -a \(\ge\) -b hay -42a \(\ge\) -42b hay -42a - 24 \(\ge\) -42b - 24
3,
a, Nếu a > b thì 3a > 3b hay 3a + 2 > 3b + 2
b, Nếu a > b thì -a < -b hay -4a < -4b hay -4a - 5 < -4b - 5
Chúc bn học tốt!!
LV
2
14 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được :
\(\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b+3c}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+3c}\times\dfrac{b+3c}{16}}=\dfrac{2a}{4}\)
Suy ra \(\dfrac{a^2}{b+3c}\ge\dfrac{2a}{4}-\dfrac{b+3c}{16}\)
Cmtt ta cũng được :
\(\dfrac{b^2}{c+3a}\ge\dfrac{2b}{4}-\dfrac{c+3a}{16}\) \(\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{2c}{4}-\dfrac{a+3b}{16}\)
Khi đó :
\(\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{2a}{4}-\dfrac{b+3c}{16}+\dfrac{2b}{4}-\dfrac{c+3a}{16}+\dfrac{2c}{4}-\dfrac{a+3b}{16}\)
mà \(\dfrac{2a}{4}-\dfrac{b+3c}{16}+\dfrac{2b}{4}-\dfrac{c+3a}{16}+\dfrac{2c}{4}-\dfrac{a+3b}{16}=\dfrac{a+b+c}{4}\)
Vậy \(\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
KK
7 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{4}\) (đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
17 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1
Có: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)( bạn tự c/m nhé )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1 ( bạn tự giải rõ ra nhé )
17 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức là có ngay mà?
\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\)
VJ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2021
Đề bài sai
Phản ví dụ: \(a=\dfrac{1}{2};b=2;c=4\) vì VT<VP
17 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có : \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\) ( tự chứng minh ạ )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng BĐT Cachy Schwarz ta có :
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\) \(\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\)
\(\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\) ( bạn tự giải rõ ạ )
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\left(1\right)\)
Nếu a,b=0 thì (1) luôn đúng
\(a^4\left(1+t^4\right)\ge a^4\left(t+t^3\right)\Leftrightarrow t^4-t^3-t+1\ge0\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^4-t^3-t+1\)có:
\(f'\left(t\right)=4t^3-3t^2-1=\left(t-1\right)\left(4t^2+t+1\right)\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t=1\)
Lập bảng biến thiên từ đó suy ra \(f\left(t\right)\ge f\left(0\right)=0\left(đpcm\right)\)
https://imgur.com/a/SJoKyTk
Bạn tham khảo cách mình nhế. Làm phiền bạn gõ link nha !
Bạn Hà dùng hàm số 12 trâu vl =)))))