Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}x^2\left(y+1\right)=y\\y^2\left(z+1\right)=z\\z^2\left(x+1\right)=x\end{cases}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 1 2022
a) \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=8\\x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+xy=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+xy=7\\x^2+y^2+x+y+xy=17\end{cases}}\)
Dat \(\hept{\begin{cases}xy=P\\x+y=S\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}S+P=7\\S^2+S-P=17\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=7-S\\S^2+S-\left(7-S\right)=17\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=7-S\\S^2+2S=24\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S=-6\\P=13\\S=4;P=3\end{cases}}\)
b)
22 tháng 11 2018
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\2x+3y+z=0\left(2\right)\\\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^3=26\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2) suy ra:
\(\hept{\begin{cases}x=-2y\\z=y\end{cases}}\)
Thê vô (3) ta được:
\(\left(-2y+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)
\(\Leftrightarrow y^3+14y^2+27y+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y^2+12y+3\right)=0\)
DT
6 tháng 6 2019
Làm hơi tắt , thông cảm ;))
Từ (1) \(\Rightarrow36=\left(x+y+z\right)^2\Leftrightarrow36=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow36=18+2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow xy+yz+zx=9\)(4)
Từ (3) \(\Rightarrow16=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\Leftrightarrow16=x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=5\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2=25\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx+2\left(\sqrt{xy^2z}+\sqrt{xyz^2}+\sqrt{x^2yz}\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xyz}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)=8\Leftrightarrow\sqrt{xyz}=\frac{8}{4}\Leftrightarrow xyz=4\)(5)
Vậy hệ đã cho tương đương với :
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=6\left(1\right)\\xy+yz+zx=9\left(4\right)\\xyz=4\left(5\right)\end{cases}}\)
Từ (5) \(\Rightarrow yz=\frac{4}{x}\)(Dễ thấy \(x,y,z>0\))
(4) \(\Leftrightarrow xy+yz+zx+x^2=9+x^2\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)+yz=9+x^2\)
\(\Leftrightarrow x.6+\frac{4}{x}=9+x^2\Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=4\end{cases}.}\)
Thế vào ta suy ra hệ có các nghiệm : \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,4\right),\left(1,4,1\right),\left(4,1,1\right).\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2020
\(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm (nếu 1 nghiệm =0 thì 2 nghiệm còn lại cũng =0)
Với \(x;y;z\ne0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{y}+1\\\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z}+1\\\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x}+1\end{matrix}\right.\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b+1\\b^2=c+1\\c^2=a+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;b;c\ge-1\)
- Nếu \(a>0\Rightarrow c^2>1\Rightarrow c>1\Rightarrow b^2>2\Rightarrow b>1\) \(\Rightarrow a;b;c>0\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow a+1\ge b+1\Rightarrow c^2\ge a^2\Rightarrow c\ge a\Rightarrow c=a\)
\(\Rightarrow a+1=b+1\Rightarrow a=b\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow a^2=a+1\Rightarrow a^2-a-1=0\)
\(\Rightarrow a=b=c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
- Tương tự nếu \(-1\le a\le0\Rightarrow-1\le a;b;c\le0\)
Giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow a^2\le c^2\Rightarrow a+1\le b+1\Rightarrow a=b\)
\(\Rightarrow b+1=c+1\Rightarrow b=c\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow a^2=a+1\Rightarrow a^2-a-1=0\Rightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(\Rightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
Vậy nghiệm của hệ là \(x=y=z=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}\)
27 tháng 1 2017
Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó phải thoả \(x,y,z\ge0\).
------
Kí hiệu hàm số \(f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2+1}\).
Giả sử \(0\le x\le y\) (\(x,y\) này ko liên quan đến hệ). Khi đó ta phát biểu \(f\left(x\right)\le f\left(y\right)\) và biến đổi tương đương thì thấy đúng.
------
Quay lại hệ. Viết lại hệ dưới dạng: \(\hept{\begin{cases}x=f\left(z\right)\\y=f\left(x\right)\\z=f\left(y\right)\end{cases}}\)
Do hệ là bất biến theo phép hoán vị vòng quanh nên ko mất tính tổng quát chỉ cần xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: \(0\le x\le y\le z\). Khi đó theo CM trên thì \(f\left(x\right)\le f\left(y\right)\le f\left(z\right)\) hay \(y\le z\le x\).
Vậy \(x=y=z\) trong trường hợp này.
Trường hợp 2: \(0\le x\le z\le y\). Khi đó theo CM trên thì \(f\left(x\right)\le f\left(z\right)\le f\left(y\right)\) hay \(y\le x\le z\).
Vậy \(x=y=z\) trong trường hợp này.
Tổng hợp lại, trong cả 2 trường hợp ta chỉ cần giải MỘT pt đó là \(\left(x^2+1\right)x=2x^2\).
Pt có nghiệm \(x=0,x=1\).
Vậy \(x=y=z=0,x=y=z=1\) là 2 nghiệm của hệ.
