Question

[Tiến Nguyễn Minh]

Mình ấn nhầm

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Bài này bạn làm theo phương pháp chứng minh chặn dưới

Từ gt => Ít nhất 1 trong 3 số a,b,c không lớn hơn 1 (Nếu ngược lại thì a²+b²+c²+abc>4)

Giả sử đó là a thì:

ab+bc+ca-abc=a(b+c)+bc(1-a) \(\ge0\)

Tiếp theo bạn chứng minh chặn trên. Đk giả thiết cho có thể viết lại là

\(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{c}{2}=1\)

Do vậy tồn tại \(\Delta\)ABC không tù sao cho a=2cosA, b=2cosB, c=2cosC. BĐT cần chứng minh trở thành

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA-4cosAcosBcosC \(\le\)1(1)

Có 2 trong 3 góc A,B,C không lớn hơn 60^o hoặc không nhỏ hơn 60^o

Không mất tính tổng quát giả sử 2 góc đó là góc A và B, khi đó:

(1-2cosA)(1-2cosB) \(\ge\)0

Mặt khác, ta có BĐT (1) tương đương với

cos(A+B)+cos(A-B)+(2cosA+2cosB-4cosAcosB)cosC \(\le\)1

cos(A-B)+(2cosA+2cosB-4cosAcosB-1)cosC\(\le\)1

cos(A-B)-(1-2cosA)(1-2cosB)cosC \(\le\)1

Do (1-2cosA)(1-2cosB) \(\ge\)0; cosC\(\ge\)0 và cos(A-B) \(\le\)1 nên BĐT  cuối hiển nhiên đúng

=> ĐPCM

Cách giải: Khánh Hoàng (khanhtuqq)

Answer 2

[Minh Tâm]

Đỉnh quá Quỳnh ơi