Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)
Theo đề bài:
\(a+b+3ab=1\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+12ab=4\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2\ge4\left(theo\left(1\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[3\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)-2\ge0\left(a,b>0\Rightarrow a+b+2>0\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge\frac{2}{3}\)
`\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\ge\frac{4}{9}\left(theo\left(2\right)\right)\)
Áp dụng các kết quả trên, ta có:
\(\left(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\right)^2\le2\left(1-a^2+1-b^2\right)\)\(=4-2\left(a^2+b^2\right)\le4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
Ta có: \(\frac{3ab}{a+b}=\frac{1-\left(a+b\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}-1\le\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\3a^2+2a-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{3}\left(a,b>0\right)}\)
Vậy max A là \(\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
Tương tự và cộng lại \(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
\(A=\frac{ab}{a+c+b+c}+\frac{bc}{a+b+a+c}+\frac{ca}{a+b+b+c}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Nên max A là \(\frac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
ab+bc+ca=3abc <=> ab+bc+ca-3abc=0 <=> ab-abc+bc-abc+ca-abc=0 <=> ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)=0
Vì a,b,c dương => \(\hept{\begin{cases}1-c=0< =>c=1\\1-a=0< =>a=1\\1-b=0< =>b=1\end{cases}}\)
Thay a,b,c vừa tìm được vào biểu thức P <=> P=3/2
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+1>=2a\)
\(b^2+1>=2b\)
\(c^2+1>=2c\)
do đó P<=\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
=\(\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}=1,5\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Áp dụng bổ đề quen thuộc \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\), ta được: \(\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+2}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+2}\)\(=\frac{bc}{ab^2c\left(a+b\right)+abc^2\left(a+c\right)+2bc}=\frac{bc}{b\left(a+b\right)+c\left(a+c\right)+2bc}\)\(\le\frac{bc}{ab+ac+4bc}=\frac{bc}{b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)+2bc}\)\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b\left(a+c\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2bc}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\)(2); \(\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}\right)\)(3)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(P\le\frac{1}{9}\left(1+1+1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{2}\)đạt được khi x = y = z = 1
