Đội tuyển toán bơ vào đấy giúp với!
Đề bài:cho 4 số a,b,c,d khác 0 thỏa mãn abcd = 1 và a+b+c+d=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\).Chứng minh rằng tồn tại 2 số trong 4 số bằng 1.
Cảm ơn trước bạn nào giải được!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 4 2017
Giả sử a,b,c,d khác nhau ta có
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}\)
\(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)
\(< 1-\frac{1}{5}< 1\)(trái với giả thiết)
=> điều giả sử là sai => ĐPCM
T
7 tháng 4 2017
Giả sử a,b,c,d khác nhau, thì ta sẽ có:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}\)
\(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)
\(< 1-\frac{1}{5}< 1\) (trái với giả thiết)
= > điều giả sử sai = > ĐPCM
S
9 tháng 2 2019
Áp dụng ta đc:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5a+5b+5c}{a+b+c}=5\left(\text{vì: a,b,c khác 0}\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=6\)
1 tháng 5 2019
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
Xét \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Thay vào P ta được P=6
Xét \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
Thay vào P ta được P= -3
Vậy P có 2 gtri là ...........
14 tháng 3 2018
Thay a+b+c=2017 vào \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2017}\) ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(b+c\right)+ca+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(b+c\right)+ca+ab\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(c+a=0\)
\(\Rightarrow\)\(c=2017\)hoặc \(a=2017\) hoặc \(b=2017\left(đpcm\right)\)
Ta có: abcd=1 và a+b+c+d=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\)
Do đó: a+b-\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+c+d-\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1-\frac{1}{ab}\right)+\left(c+d\right)\left(1-\frac{1}{cd}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(ab-1\right)}{ab}+\left(c+d\right)\left(1-ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(\frac{a+b}{ab}-c-d\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a+b-abc-abd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[a\left(1-bc\right)+b\left(1-ad\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[a\left(1-bc\right)+b\left(abcd-ad\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(a-abd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(1-bd\right)=0\)
<=> ab-1=0 hoặc 1-bc=0 hoặc 1-bd=0
<=> ab=1 hoặc bc=1 hoặc bd=1
\(\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(1-bd\right)=0\)