Câu 1: Cho \(\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\log_2\left(\ln\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}=\frac{1}{\ln\left(2\right)e}\). Biết \(\ln\left(f\left(0\right)\right)=1\) và \(\int\limits^{5e}_{...

0

B

Buddy

20 tháng 8 2023

Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = {e^x}\);

b) \(y = \ln x\).

#Toán lớp 11

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 9 2023

a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^x} - {e^{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)

Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0} + \Delta x}} - {e^{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}}.{e^{\Delta x}} - {e^{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}}.\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {e^{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} = {e^{{x_0}}}.1 = {e^{{x_0}}}\end{array}\)

Vậy \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với bất kì \({x_0} > 0\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln {\rm{x}} - \ln {{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}}\)

Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \ln {{\rm{x}}_0}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{{x_0} + \Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}}\end{array}\)

Đặt \(\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}} = t\). Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{1}{{{x_0}}};\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\)

Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{x_0}}}.1 = \frac{1}{{{x_0}}}\)

Vậy \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số \(\int\frac{3\sqrt{ln\left(x\right)+1}}{x}dx\) có dạng \(ln\left(\left(xe\right)^a\right).\sqrt{ln\left(xe\right)+b}\) với \(a,b\) là các số thực. Tính \(a^2+b^2\) a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 Câu 2: Cho hai số thực \(a,b\) \(\left(a b\right)\) thoả mản \(\int\limits^b_a\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\) và \(a^2+b^2=17\). Tính \(a^b+b^{-a}\) a) \(\frac{2}{3}\) b) \(1\) c) \(0\) d) \(\frac{5}{4}\) Câu 3: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định...

TC

Tô Cường

5 tháng 2 2020

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 2 2020

Câu 1:

Đặt \(\sqrt{lnx+1}=t\Rightarrow lnx=t^2-1\Rightarrow\frac{dx}{x}=2tdt\)

\(\Rightarrow I=\int3t.2t.dt=6\int t^2dt=2t^3+C\)

\(=2\sqrt{\left(lnx+1\right)^3}+C=2\left(lnx+1\right)\sqrt{lnx+1}+C\)

\(=ln\left(x.e\right)^2\sqrt{ln\left(x.e\right)+0}\Rightarrow a=2;b=0\)

Câu 2:

\(\int\limits^b_ax^{-\frac{1}{2}}dx=2x^{\frac{1}{2}}|^b_a=2\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=2\Rightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}=1\)

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b}-\sqrt{a}=1\\a^2+b^2=17\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\\a=1\end{matrix}\right.\) (lưu ý loại cặp nghiệm âm do \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) chỉ xác định trên miền (a;b) dương)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 2 2020

Câu 4:

\(\int\frac{3x+a}{x^2+4}dx=\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2+4}dx+a\int\frac{1}{x^2+4}dx\)

\(=\frac{3}{2}ln\left(x^2+4\right)+\frac{a}{2}arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C\)

\(\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{e}{4}}_1ln\left(x\right)dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.lnx|^{\frac{e}{4}}_1-\int\limits^{\frac{e}{4}}_1dx=\frac{e}{4}.ln\left(\frac{e}{4}\right)-\frac{e}{4}+1=-\frac{ln\left(2^e\right)}{2}+1\)

Câu 5:

\(f'\left(x\right)=\int f''\left(x\right)dx=-\frac{1}{4}\int x^{-\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}+C\)

\(f'\left(2\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}+C=2+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow C=2\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\int f'\left(x\right)dx=\int\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2\right)dx=\sqrt{x}+2x+C_1\)

\(f\left(4\right)=\sqrt{4}+2.4+C_1=10\Rightarrow C_1=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x+\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2x+\sqrt{x}\right)dx=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C_2\)

\(F\left(1\right)=1+\frac{2}{3}+C_2=1+\frac{2}{3}\Rightarrow C_2=0\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\Rightarrow\int\limits^1_0\left(x^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right)dx=\frac{3}{5}\)

1) \(\int ln\frac{\left(1+s\text{inx}\right)^{1+c\text{os}x}}{1+c\text{os}x}dx\) 2) \(\int\left(xlnx\right)^2dx\) 3) \(\int\frac{3xcosx+2}{1+cot^2x}dx\) 4)\(\int\frac{2}{c\text{os}2x-7}dx\) 5)\(\int\frac{1+x\left(2lnx-1\right)}{x\left(x+1\right)^2}dx\) 6) \(\int\frac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}dx\) 7)\(\int e^x\frac{1+s\text{inx}}{1+c\text{os}x}dx\) 8) \(\int ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)dx\) 9)\(\int\frac{xln\left(1+x\right)}{\left(1+x^2\right)^2}dx\) 10)...

K

KAl(SO4)2·12H2O

18 tháng 2 2018

1) \(\frac{lim}{x\rightarrow0}\frac{ln\left(cos3x\right)}{ln\left(cos5x\right)}\)

2) \(\frac{lim}{x\rightarrow+\infty}\left(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right)\)

#Toán lớp 9

0

PT

Phan thu trang

8 tháng 2 2017

Câu hỏi hay

11

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 2 2017

Câu 2)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)

Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 2 2017

Câu 3:

\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)

Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)

Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)

Áp dụng phương pháp tính tích phân, hãy tính các tích phân sau : a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos2xdx\) b) \(\int\limits^{\ln2}_0xe^{-2x}dx\) c) \(\int\limits^1_0\ln\left(2x+1\right)dx\) d) \(\int\limits^3_2\left|\ln\left(x-1\right)-\ln\left(x+1\right)\right|dx\) e) \(\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\left(1+x-\dfrac{1}{x}\right)e^{x+\dfrac{1}{x}}dx\) g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos...

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

0

C

Crackinh

11 tháng 3 2022

Cho a là một số thực dương. Biết rằng F(x) là 1 nguyên hàm của \(f\left(x\right)=e^x\left(ln\left(ax\right)+\dfrac{1}{x}\right)\) thỏa mãn \(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=0\) và \(F\left(2020\right)=e^{2020}\). Tìm a.

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

11 tháng 3 2022

\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)

Xét \(I=\int e^xlnxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)

\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)

\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)

\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)

Đúng(1)

ND

Nguyễn Đình Đức

23 tháng 1 2021

chứng minh:

\(\int\limits^1_0\dfrac{ln\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)}{x}dx=\dfrac{3}{4}\int\limits\dfrac{ln\left(1+x\right)}{x}^1_0dx\)