Question

[trần trác tuyền]

tìm các số nguyên dương x, y sao cho 2xy-1 chia hết cho (x-1)(y-1)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta thấy: $2xy-1\vdots (x-1)(y-1)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2xy-1\vdots x-1\\ 2xy-1\vdots y-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y(x-1)+2y-1\vdots x-1\\ 2x(y-1)+2x-1\vdots y-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y-1\vdots x-1\\ 2x-1\vdots y-1\end{matrix}\right.\)

Nếu $x=y$ thì $2x-1\vdots x-1\Rightarrow 2(x-1)+1\vdots x-1$

$\Rightarrow 1\vdots x-1\Rightarrow x-1=\pm 1\Rightarrow x=0; 2$. Mà $x$ nguyên dương nên $x=2\Rightarrow y=2$

Nếu $x>y$: Vì $x>y\geq 1$ nên $x\geq 2$.

Ta thấy: $2y-1-3(x-1)=2(y-x)+(2-x)< 0\Rightarrow 2y-1< 3(x-1)$

Mà $2y-1\vdots x-1$ và $2y-1$ lẻ nên $2y-1=x-1$

$\Rightarrow 2x-1=2(x-1)+1=2(2y-1)+1\vdots y-1$

$\Leftrightarrow 4(y-1)+3\vdots y-1$

$\Rightarrow 3\vdots y-1\Rightarrow y-1\in\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$

$\Rightarrow $y\in\left\{2; 4\right\}$

$\Rightarrow x=4; x=8$ (tương ứng)

Nếu $x< y$: Hoàn toàn tương tự

Vậy..........