Question

[donotask]

/\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge33\)

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

t nghĩ đề phải bổ sung là a,b,c > 0 nữa.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}-6+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)}{abc}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{abc}-\frac{18\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\right]\ge0\)

cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc+a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc\ge0\)

Ta thấy \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc=a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Thanh Tùng DZ Sao anh ko dùng co si cho nhanh để cm cái bđt cuối ??
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\Rightarrowđpcm\)