Cho một biểu thức, biết biểu thức là:\(\left[\left(a b\right)^3 \left(c-d\right)^3-\left(a c\right)^3-\left(b-d\right)^3\right]\left(mn\right)^2=63504.\)Các số cần tìm cho, biết:- TRC của 4 số a, b, c...

0

BC

Big City Boy

19 tháng 12 2020

Cho a,b,c là các số nguyên khác nhau đôi một. CMR biểu thức sau có giá trị là 1 số nguyên: \(P=\dfrac{a^3}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right).\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right).\left(c-b\right)}\)

1

TG

Thịnh Gia Vân

19 tháng 12 2020

Bài này mình làm một lần ở trường rồi nhưng không có điện thoại chụp được:((

Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3\left(a-c\right)-c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3a-b^3c-c^3a+c^3b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c^3-b^3\right)+bc\left(c^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\left(a^2+bc+b^2\right)+bc\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a^3-ac^2-abc-ab^2+bc^2+b^2c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab-c-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)

\(\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[a^2-c^2+ab-bc\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}\)\(=a+b+c\)

Vì a, b, c là các số nguyên

=> a+b+c là các số nguyên

=> Đpcm.

Đấy mình làm chi tiết tiền tiệt lắm luôn, không hiểu thì mình chịu rồi, trời lạnh mà đánh máy nhiều thế này buốt tay lắm luôn:vv

Đúng(2)

HT

Hoàng Thanh

15 tháng 5 2019

#Toán lớp 7

0

OC

oOo Chảnh thì sao oOo

5 tháng 12 2017

Cho a,b,c là các số nguyên khác nhau đôi một . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên :

\(P=\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

1

KT

Không Tên

5 tháng 12 2017

P = \(\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)\(+\)\(\frac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)\(+\)\(\frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

= \(\frac{a^3\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)\(+\)\(\frac{b^3\left(c-a\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(+\)\(\frac{c^3\left(a-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}\)

= \(\frac{a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

Tử số = a³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b)

= a³(b - c) - b³[(b - c) + (a - b)] + c³(a - b)

= a³(b - c) - b³(b - c) - b³(a - b) + c³(a - b)

= (b - c)(a³ - b³) - (a - b)(b³ - c³)

= (b - c)(a - b)(a² + ab + b²) - (a - b)(b - c)(b² + bc + c²)

= (a - b)(b - c)(a² + ab + b² - b² - bc - c²)

= (a - b)(b - c)(a² + ab - bc - c²)

= (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c)

Vậy P = \(\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)= a + b + c

Vì a, b , c là các số nguyên đôi một khác nhau nên a + b + c là số nguyên

hay P có giá trị là 1 số nguyên

NM

Nguyễn Mai

23 tháng 12 2019

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức:\(P=3\left(ab+bc+ca\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{8}\left(c-a\right)^2\)

0

TX

trần xuân quyến

24 tháng 3 2018

cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

\(P=\frac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\left(2+c\right)\left(3+a+b\right)\)

2

PM

Pham Minh Thu

25 tháng 3 2018

thi hsg co cao khong

PM

Pham Minh Thu

25 tháng 3 2018

dang no giong bai bdt vap LHP chuyen nam 2017-2018

NA

Nguyễn An

23 tháng 9 2021

cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+\(\sqrt{abc}\)=4.

tính giá trị của biểu thức: A=\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)

1)CMR: Biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của 2 biểu thức \(A=x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\) 2) Viết các biểu thức sau dưới dạng 3 bình phương a) \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)...

2

LL

Lấp La Lấp Lánh

23 tháng 9 2021

Ta có: \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)

\(\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)

\(\Rightarrow4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\)

\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)

\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=\left|2a+\sqrt{abc}\right|=2a+\sqrt{abc}\)

Tương tự:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\\\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)

Đúng(2)

NH

Nguyễn Hoàng Minh

23 tháng 9 2021

Ta có \(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(a+c+\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+ac+a\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\\ =\sqrt{4a^2+ac\left(4-\sqrt{abc}-a-c\right)+4a\sqrt{abc}}\\ =\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}\\ =2a+\sqrt{abc}\left(a,b,c>0\right)\)

Cmtt \(\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}=2b+\sqrt{abc};\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-a\right)}=2c+\sqrt{abc}\)

\(\Rightarrow A=2\left(a+b+c\right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{abc}\\ A=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=2\cdot4=8\)

Đúng(2)

T

Trang

5 tháng 10 2017

Đọc tiếp

1

DP

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

5 tháng 10 2017

Bài 2 :

a ) \(A=\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)

\(A=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+b^2+c^2\)

\(A=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2+2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)\)

\(A=\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\)

LT

Lê Thu Phương

6 tháng 8 2016

1. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \(a^2\) chia cho 5 dư 1

2. Rút gọn biểu thức : \(P=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

3. Chứng minh hằng đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

2

TV

Trần Việt Linh

6 tháng 8 2016

\(P=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{15}+1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(5^4-1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(5^8-1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(5^{16}-1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(\frac{1}{2}\left(5^{32}+1\right)=\frac{5^{32}+1}{2}\)

IM

Isolde Moria

6 tháng 8 2016

a)

Ta có

a chia 5 dư 4

=> a=5k+4 ( k là số tự nhiên )

\(\Rightarrow a^2=\left(5k+4\right)^2=25k^2+40k+16\)

Vì 25k^2 chia hết cho 5

40k chia hết cho 5

16 chia 5 dư 1

=> đpcm

2) Ta có

\(12=\frac{5^2-1}{2}\)

Thay vào biểu thức ta có

\(P=\frac{\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left[\left(5^2\right)^2-1^2\right]\left[\left(5^2\right)^2+1^2\right]\left(5^8+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left[\left(5^4\right)^2-1^2\right]\left[\left(5^4\right)^2+1^2\right]}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{5^{16}-1}{2}\)

3)

\(\left(a+b+c\right)^3=\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^3\)

\(=a^3+b^3+c^2+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(ab+ca+cb+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Cho đa thức :\(P\left(x\right)=x^3-3x^2+1\) có 3 nghiệm thực phân biệt là :\(a;b;c\). Tính giá trị của các biểu thức sau :a) \(A=a^4+b^4+c^4\)b) \(B=\dfrac{a+1}{\left(b+c\right).\left(1-a\right)+1}+\dfrac{b+1}{\left(c+a\right).\left(1-b\right)+1}+\dfrac{c+1}{\left(a+b\right).\left(1-c\right)+1}\)c) \(C=\dfrac{a^3}{a^2+2.b.c}+\dfrac{b^3}{b^2+2ac}+\dfrac{c^3}{c^2+2ab}\)P/s: Em xin phép nhờ quý thầy, quý cô cùng các bạn yêu toán vui lòng giúp đỡ em tham khảo với...

PK

Phạm Kim Oanh

17 tháng 3 2022

Đọc tiếp

3

BD

Bùi Đức Huy Hoàng

17 tháng 3 2022

a) phương trình \(x^3-3x^2+1\) có 3 nghiệm thực phân biệt là a,b,c(đề bài). Áp dụng Định lí Vi-ét cho đa thức bậc 3 ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\ab+bc+ac=0\\a.b.c=-1\end{matrix}\right.\)

ta có

a+b+c=3

<=>\(\left(a+b+c\right)^2=9\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\)

<=>\(a^2+b^2+c^2=9\)

<=>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=81\)

<=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=81\)(1)

ta có ab+bc+ac=0

<=>\(\left(ab+bc+ac\right)^2=0\)

<=>\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=0\)

<=>\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-2.1.3=0\)

<=>\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=6\)(2)

Thay (2) vào (1) ta có \(a^4+b^4+c^4+2.6=81\)

<=>\(a^4+b^4+c^4=69\)