Chứng minh:\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\)≥\(\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) với mọi x, y > 0 thỏa mãn xy≥1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
1
16 tháng 12 2019
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của nguyen tan 12 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Chỉ cần đặt \(x=a^2;y=b^2\)
7 tháng 6 2021
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
3 tháng 4 2020
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
Khi đó BĐT <=>
\(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)
<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)
<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)
Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)
<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)
<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng
Khi đó (1) <=>
\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\)
<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)
Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có
\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
21 tháng 2 2016
\(\begin{cases}\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{5}{2}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{9}{2}\end{cases}\)
<=>\(\begin{cases}xy+1=\frac{5\sqrt{xy}}{2}\\\sqrt{xy}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{9\sqrt{xy}}{2}\end{cases}\)
Đặt P=\(\sqrt{xy}\);S=\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)(S2\(\ge\)4P)
Ta có HPT: \(\begin{cases}P^2+1=\frac{5P}{2}\\S.P+P=\frac{9P}{2}\end{cases}\)
Tới đây dễ tự làm
5 tháng 11 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)
( Cauchy )
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
6 tháng 11 2019
Cách khác nè bạn
Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)
Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)
Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)
T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)
KN
18 tháng 2 2020
Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2019\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=2019\)
\(\Rightarrow x+y+z=2019xyz\)
\(\Rightarrow2019x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\)
\(\Rightarrow2019x^2+1=\frac{x^2+xy+xz+yz}{yz}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)
\(=\left(\frac{x}{y}+1\right)\left(\frac{x}{z}+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{2019x^2+1}=\sqrt{\left(\frac{x}{y}+1\right)\left(\frac{x}{z}+1\right)}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+2\right)=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(cô -si)
\(\Rightarrow\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}\le\frac{x^2+1+1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}\)\(=x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}\le y+\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
và \(\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le z+\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}\le x+y+z+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Chứng minh được: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\frac{2019.3\left(xy+yz+zx\right)}{2019xyz}\)
\(\le\frac{2019\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=2019\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\le2020\left(x+y+z\right)=2020.2019xyz\)
Vậy \(\text{Σ}_{cyc}\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}\le2019.2020xyz\left(đpcm\right)\)
21 tháng 3 2020
Theo bài ra ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{x+y+z}{xyz}=2019\)
\(\Rightarrow x+y+z=2019xyz\)
\(\Rightarrow2019x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\)
\(\Rightarrow2019x^2+1=\frac{x^2+xy+xz+yz}{yz}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}=\left(\frac{x}{y}+1\right)\left(\frac{x}{z}+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{2019x^2+1}=\sqrt{\left(\frac{x}{y}+1\right)\left(\frac{x}{z}+1\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+2\right)=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Theo BĐT Cosi)
\(\Rightarrow\frac{x^2+1+\sqrt{2019^2+1}}{x}\le\frac{x+1+1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}\le y+\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le z+\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le x+y+z+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Chứng minh được: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\frac{2019\cdot3\left(xy+yz+zx\right)}{2019xyz}\le\frac{2019\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}\)\(=2019\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\le2020\left(x+y+z\right)=2020\cdot2019xyz=VP\)
=> ĐPCM
PP
Cho x,y,z>0 thỏa xy+yz+zx=1.Chứng minh rằng:
\(\Sigma\frac{1}{xy}\ge3+\Sigma\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 10 2020
Ta có:
\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy}+\frac{xy+yz+zx}{yz}+\frac{xy+yz+zx}{zx}\)
\(VT=3+\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\) (1)
Mặt khác:
\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}\ge2\sqrt{\frac{zx\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{xy^2z}}=2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y^2}}=\frac{2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}{y}=\frac{2\sqrt{y^2+1}}{y}\)
Tương tự: \(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{x^2+1}}{x}\) ; \(\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{z^2+1}}{z}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{xz}\ge\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2+1}}{y}+\frac{\sqrt{z^2+1}}{z}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=...\)
...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)