Question

[A Lan]

Cho \(\sin^2x+\sin^2y=\frac{1}{4}\) . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\tan^2x+\tan^2y\) . Tính 3M + 2m ?

A. \(\frac{13}{3}\) B. \(\frac{11}{2}\) C. \(\frac{7}{3}\) D. \(\frac{9}{2}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(1-cos^2x+1-cos^2y=\frac{1}{4}\Rightarrow cos^2x+cos^2y=\frac{7}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{4}\le cos^2x;cos^2y\le1\)

\(S=1+tan^2x+1+tan^2y-2=\frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{cos^2y}-2\)

\(=\frac{7}{4cos^2x.cos^2y}-2=\frac{7}{4cos^2x\left(\frac{7}{4}-cos^2x\right)}-2=\frac{7}{-4cos^4x+7cos^2x}-2\)

Đặt \(cos^2x=t\) \(\Rightarrow\frac{3}{4}\le t\le1\)

Xét \(f\left(t\right)=-4t^2+7t\) trên \(\left[\frac{3}{4};1\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=\frac{7}{8}\Rightarrow f\left(\frac{7}{8}\right)=\frac{49}{16}\) ; \(f\left(\frac{3}{4}\right)=3\); \(f\left(1\right)=3\)

\(\Rightarrow3\le f\left(t\right)\le\frac{49}{16}\)

\(\Rightarrow\frac{7}{\frac{49}{16}}-2\le S\le\frac{7}{3}-2\Leftrightarrow\frac{2}{7}\le S\le\frac{1}{3}\)

Không có trong đáp án?