Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn:\(x^2+y^2=z^2\)
a) CMR: trong 2 số x,y ít nhất có mộ số chia hết cho 3
b) chứng minh tchs x,y chia hết cho 12
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có các nhận xét:
a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)
a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)
a)Giả sử trong x;y;z không có số nào chia hết cho 3.
Từ (1) nên ta có x2≡y2≡1(mod3)
Nên z2≡1+1≡2(mod3): vô lý nên ta có đpcm.
b) Tương tự câu a, ta cm được tồn tại 1 số trong x;y;z chia hết cho 4. Vậy ta có đpcm.
60 = 3.4.5
Ta cần c/m xyz chia hết cho 3; 4 và 5.
Xét x² + y² = z²
* Giả sử cả x; y và z đều không chia hết cho 3.
Khi đó x; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x²; y² và z² chia cho 3 dư 1.
=> x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 3 )
Vô lí vì z² ≡ 1 ( mod 3 )
Vậy tồn tại ít nhất 1 số ⋮ 3, do đó xyz ⋮ 3 (♠)
* Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 4.
Khi đó x; y và z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
*TH 1 : Cả x; y và z lẻ => x²; y² và z² chia 4 dư 1.
=> z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại }
*TH 2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz⋮ 4
*TH 3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
......+ Với x; y lẻ thì z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại do z chẵn nên z² ≡ 0 ( mod 4 )}
......+ Với x; z lẻ thì y² = z² - x² ≡ (z - x)(z + x). Ta có bảng sau :
........z...............x...........z-...
....4m+1.......4n+1.........4(m-n).......
....4m+3.......4n+1.......4(m-n)+2.......
Các trường hợp khác tương tự. Ta luôn có y² = (z-x)(z+x)⋮8. Trong khi y²⋮4 nhưng không⋮8 => mâu thuẫn.
Vậy.......
Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮4 => xyz⋮4 (♣)
* Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 5.
Khi đó x; y và z chia cho 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 => x²; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
+ TH 1 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ 1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 2 ( mod 5 ) { loại }
+ TH 2 : x² ≡ -1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ -1 ( mod 5 ) { loại }
+ TH 3 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 0 ( mod 5 ) { loại }
Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮5 => xyz⋮5 (♦)
Từ (♠); (♣) và (♦) => xyz⋮3.4.5 = 60 ( đpcm )
Đây là toán lớp 9 mà bạn, bạn ghi đề bài lên google là ra ngay, mik vừa thử rồi
Nếu a+b+c = 0 hoặc a =b=c thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Sử dụng tính chất trên ta được :
( x - y )^3 + ( y -z )^3 + ( z - x )^3 = 3( x -y )(y -z )( z -x )
Nếu x ,y, z có cùng số dư khi chia cho 3 =>
x-y , y- z , z - x :/ 3 ( :/ là kí hiệu chia hết )
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
,G/S trong ba số x,y,z ko có số nào có cùng số dư khi chia hết cho 3
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) ko chia hết cho 3
Từ G/S => x,y,z chia 3 sẽ có 3 số dư là 0,1,2
=> x+y +z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 ( Vô lý )
Vậy trong ba số x,y,z có hai số có cùng số dư khi chia cho 3 . G/S đó là x,y
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 => x +y +z :/3
1,Nếu x,y :/ 3 => z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
2,Nếu x,y chia 3 dư 1 , x+y+z :/3 => z chia 3 dư 1 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
3,Nếu x,y chia 3 dư 2 , x+y + z :/3 => z chia 3 dư 2 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
Tóm lại 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 hay M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 :/ 27
tích nha
\(60=3.4.5\)
Ta cần chứng minh xyz chia hết cho 3 ; 4 và 5
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z đều không chia hết cho 3
Khi đó x ; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x2 ; y2 và z2 chia cho 3 dư 1
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 3 )
Vô lí vì \(z^2\equiv1\) ( mod 3 )
Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3, do đó \(xyz⋮3\) ( 1 )
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 4
Khi đó x ; y và z chia cho 4 dư 1 ; 2 hoặc 3
- TH1 : Cả x ; y và z lẻ => x2 ; y2 và z2 chia 4 dư 1
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại )
- TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4
- TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ
+) Với x ; y lẻ thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại do z chẵn nên \(z^2\equiv0\) ( mod 4 ) )
+) Với x ; z lẻ thì \(y^2=z^2-x^2\equiv\left(z-x\right)\left(z+x\right)\) .Ta có bảng sau :
z | x | z- |
4m + 1 | 4n + 1 | 4( m - n ) |
4m + 3 | 4n + 1 | 4 ( n - n ) + 2 |
Các trường hợp khác tương tự
Ta luôn có \(y^2=\left(z-x\right)\left(z+x\right)⋮8\) . Trong khi đó y2 không chia hết cho 4 nhưng lại chia hết cho 8 => Mâu thuẫn
Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 \(\Rightarrow xyz⋮4\) ( 2 )
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 5
Khi đó x ; y và z chia cho 5 dư 1 ; 2 ; 3 hoặc 4 => x2 ; y2 và z2 chia cho 5 dư 1 hoặc -1
- TH1 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv2\) ( mod 5 ) ( loại )
- TH2 : \(x^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ( loại )
- TH3 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv0\) ( mod 5 ) ( loại )
Vậy tồn tại ít nhất một số chia hết cho 5 \(\Rightarrow xyz⋮5\) ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow xyz⋮3.4.5=60\left(đpcm\right)\)