Question

[Nguyễn Phương Oanh]

Bài 8: Cho biểu thức: \(G=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{x^2-2x+1}{2}\)

a) Xác định x để G tồn tại

b) Rút gọn biểu thức G

c)Tình giá trị của G khi x=0,16

d) Tìm giá trị lớn nhat của G

e) Tìm \(x\in Z\) để G nhận giá trị nguyên

f) CMR: Nếu 0<x<1 thì M nhận giá trị dương

g) Tìm x để G nhận giá trị âm

Mong các bạn giúp đỡ

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)

\(G=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right).\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\left(\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{-2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}-x\)

\(x=0,16\Rightarrow G=\sqrt{0,16}-0,16=\)

\(G=\frac{1}{4}-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow G_{max}=\frac{1}{4}\) khi \(\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)

G nguyên khi \(\sqrt{x}\) nguyên \(\Rightarrow x=k^2\) với \(k\in Z\)

Vậy với mọi x có dạng \(x=k^2\) thì G nguyên

\(G=\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)\)

Với \(0< x< 1\Rightarrow0< \sqrt{x}< 1\Rightarrow1-\sqrt{x}>0\)

\(\Rightarrow G=\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)>0\Rightarrow G\) dương

Để \(G< 0\Rightarrow1-\sqrt{x}< 0\Rightarrow x>1\)