Tìm a, b thuộc N sao cho a2 + 3b và b2 + 3a đều là số chính phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N sao cho a2 + 3b và b2 + 3a đều là số chính phương.
2 tháng 6 2022
Không mất tính tổng quát giả sử a >= b.
Đặt a^2 + 3b = x^2 (x thuộc N) và b^2 + 3a = y^2 (y thuộc N)
Ta có : x^2 = a^2 + 3b <= a^2 + 3a < a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 (Do a thuộc N)
=> x^2 < (a+2)^2 (1)
Lại có : x^2 = a^2 + 3b >= a^2 (Do b thuộc N)
=> x^2 >= a^2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a^2 <= x^2 < (a+2)^2 nên x^2 = a^2 hoặc x^2 = (a+1)^2.
+) TH1 : x^2 = a^2
<=> a^2 + 3b = a^2 <=> b = 0
Mà b^2 + 3a = y^2 nên 3a = y^2
=> y^2 chia hết cho 3 => y chia hết cho 3 => y = 3k (k thuộc N)
Khi đó 3a = 9k^2 <=> a = 3k^2.
Nghiệm (a,b) = (3k^2 , 0) với k thuộc N là một nghiệm của bài toán.
+) TH2 : x^2 = (a+1)^2
<=> a^2 + 3b = a^2 + 2a + 1
<=> 3b = 2a + 1 là số lẻ nên b là số lẻ. Đặt b = 2m+1 (m thuộc N)
=> 6m + 3 = 2a + 1 <=> a = 3m + 1
Vì b^2 + 3a = y^2 nên (2m+1)^2 + 3.(3m+1) = y^2
<=> 4m^2 + 13m + 4 = y^2
<=> 64m^2 + 208m + 64 = 16y^2
<=> (8m + 13)^2 - (4y)^2 = 105
<=> (8m + 4y + 13)(8m - 4y + 13) = 105
Đến đây bạn dùng phương pháp tích ước số giải tiếp nha.
13 tháng 6 2023
2:
a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0
=>-(a^2-2ab+b^2)<=0
=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)
b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0
=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
NT
Cho các số nguyên a và b sao cho a^2 + b^2 +9 = 29( ab + 3a +3b ). Cmr: a/3, b/3 là số chính phương.
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 3 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$C^2\leq (a+b)[(29a+3b)+(29b+3a)]=32(a+b)^2$
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)\leq 4$
$\Rightarrow C^2\leq 32.4$
$\Rightarrow C\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $C_{\max}=8\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
17 tháng 9 2021
\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)
\(\Rightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)
\(=\left[\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right).2+4\right]+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)
\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge3996\)
\(\Rightarrow M\ge1998\)
\(minM=1998\Leftrightarrow a=b=1\)