Cmr
a. căn bậc hai của 15 là số vô tỉ
b. Nếu số tự nhiên a ko là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử √aa là số hữu tỉ .
Đặt √a=pqa=pq (p; q ∈∈ N; q khác 0 và (p;q) = 1)
=> a=p2q2a=p2q2 => a.q2 = p2
Vì p2 là số chính phương nên a.q2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà p; q nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Điều giả sử sai
Vậy √aa là số vô tỉ
Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.
Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn)
Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.
Trả lời:
+ Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ\)
\(\Rightarrow a=\frac{m}{n}\)với\(\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ\)
+ Vì a không là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ\)
\(\Rightarrow n>1\)
+ Vì \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow m^2=an^2\)
+ Vì \(n>1\)
\(\Rightarrow\)Giả sử n có ước nguyên tố là p
Mà\(n\inℕ\)
Mà\(m^2=an^2\)
\(\Rightarrow m⋮p\)
\(\Rightarrow\)m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)
\(\Rightarrow\)Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)sai
\(\Rightarrow\sqrt{a}\in I\)
Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\)là số vô tỉ.
Hok tốt!
Good girl
giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ
\(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\) (m, n thuộc N*); (m,n) = 1
do a không phải scp nên \(\frac{m}{n}\)không phải stn
do đó n > 1
ta có: m2 = a.n2
gọi p là ước nguyên tố nào đó của n
thì m2 chia hết cho p, do đó m chia hết cho p
như vậy p là ước số nguyên tố của m, n, trái với (m, n) = 1
=> \(\sqrt{a}\)là số vô tỉ
Trả lời:
+ Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ\)
\(\Rightarrow a=\frac{m}{n}\)với\(\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ\)
+ Vì a không là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ\)
\(\Rightarrow n>1\)
+ Vì \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow m^2=an^2\)
+ Vì \(n>1\)
\(\Rightarrow\)Giả sử n có ước nguyên tố là p
Mà\(n\inℕ\)
Mà\(m^2=an^2\)
\(\Rightarrow m⋮p\)
\(\Rightarrow\)m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)
\(\Rightarrow\)Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)sai
\(\Rightarrow\sqrt{a}\in I\)
Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\)là số vô tỉ.
Hok tốt!
Good girl
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
tích mik nha
Giả sử \(\sqrt{10}\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{10}=\frac{a}{b}\) ( vs \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản, \(a,b\in Z;b\ne0\))
Ta có \(\frac{a}{b}=\sqrt{10}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=10\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=10\Rightarrow a^2=10b^2\)
=> \(a^2\) là số chẵn ( vì 10 là số chẵn)
\(\Rightarrow a\) chẵn ( do căn bậc hai của 1 số chẵn là số chẵn) (1)
\(\Rightarrow a=2k\left(k\in Z\right)\)
Thay a = 2k vào \(a^2=10b^2\) ta có
\(\left(2k\right)^2=10b^2\)
\(\Rightarrow4k^2=10b^2\)
\(\Rightarrow2k^2=5b^2\)
\(\Rightarrow5b^2\) là số chẵn
\(\Rightarrow b^2\) là số chẵn
\(\Rightarrow b\) chẵn ( do do căn bậc hai của 1 số chẵn là số chẵn ) (2)
Từ (1) và (2) => Phân số \(\frac{a}{b}\) chưa tối giản vs giả thiết đưa ra
Vậy \(\sqrt{10}\) là số vô tỉ
Có j sai sót mong bỏ qua
~ HAPPY NEW YEAR ~