Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác a+b+c=6
CMR: 52 < hoặc bằng \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)<54
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 8 2017
a/ Ta có:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le a\left(2\right)\\\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le c\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy (1), (2), (3) nhân vế theo vế ta được
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
4 tháng 8 2020
2) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức:
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{\left(a+b-c+b+c-a\right)^2}{4}=\frac{4b^2}{4}=b^2\)
Tương tự chứng minh được:
\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)
Nhân vế 3 bất đẳng thức trên với nhau ta được:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
NV
3
HP
0
17 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT tam giác, ta có:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< a+b+c\\2b< a+b+c\\2c< a+b+c\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 6\\2b< 6\\2c< 6\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 3\\b< 3\\c< 3\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}3-a>0\\3-b>0\\3-c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số thực không âm, ta có:
\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\frac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow27-9\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)-abc\le1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge27-9.6+3\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc\ge-56+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3.2\left(ab+bc+ca\right)-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3.36-56=\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Vậy \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
