Cho (O;R) .Từ A nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB;AC tới (O) . Gọi H là trung điểm của BC
a, Cmr : A;H;O thẳng hàng
b, Kẻ đường kính BD của (O) và Ck vuông góc với BD. Cmr : AC.CD=CK.AO
c, Tia AO cắt (O) tại M và N. Cmr : MH.NA=MA.NH
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 11 2021
a: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có: HB=HC
nên H nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,H,O thẳng hàng
CM
15 tháng 9 2019
a, A,H,O thẳng hàng vì AH,AO cùng vuông góc với BC
HS tự chứng minh A,B,C,O cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b, Ta có K D C ^ = A O D ^ (cùng phụ với góc O B C ^ )
=> ∆KDC:∆COA (g.g) => AC.CD = CK.AO
c, Ta có: M B A ^ = 90 0 - O B M ^ và M B C ^ = 90 0 - O M B ^
Mà O M B ^ = O B M ^ (∆OBM cân) => M B A ^ = M B C ^
=> MB là phân giác A B C ^ . Mặt khác AM là phân giác B A C ^
Từ đó suy ra M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d, Kẻ CD ∩ AC = P. Chứng minh ∆ACP cân tại A
=> CA = AB = AP => A là trung điểm CK
16 tháng 12 2016
a) Ta có OB=OC (cùng là bán kính (O))
AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
→O và A cách đều 2 đầu đoạn thẳng BC
→OA là đường trung trực của BC
→OA \(\perp\) BC
Xét Δ OBA vuông tại B có đường cao BH:
OB2= OH . OA (hệ thức lượng)
mà OB=R (OB là bán kính của (O))
→R2 =OH.OA
b)Xét ΔDBC nội tiếp (O) có đường kính BD
→ΔDBC vuộng tại C có cạnh huyền BD
→BC\(\perp\) CD mà OA\(\perp\)BC (cmt)
→OA song song CD
Ta có : AB song song CK (cùng \(\perp\) BD)
Xét ΔOBA vuông tại B
ΔDKC vuông tại K , có
\(\widehat{BOA}\) = \(\widehat{KDC}\) ( 2 góc đồng vị của OA song song CD)
→ΔOBA đồng dạng ΔDKC (g.n)
→\(\frac{OB}{DK}\) =\(\frac{OA}{DC}\) =\(\frac{BA}{KC}\) (tỉ số đồng dạng)
→OA . CK=AB. CD
mà AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
→AC . CD= CK . OA (đpcm)
16 tháng 11 2021
a, Theo tc 2 tiếp tuyến cắt nhau: AB=AC nên A∈trung trực BC
Mà OB=OC=R nên O∈trung trực BC
Do đó OA là trung trực BC hay OA⊥BC
Áp dụng HTL: \(OA\cdot OH=OB^2=R^2\)
b, \(\widehat{BCD}=90^0\) (góc nt chắn nửa đg tròn) nên CD⊥BC
Mà OA⊥BC nên CD//AO
16 tháng 11 2021
b, AO//CD nên \(\widehat{AOB}=\widehat{CDK}\) (đồng vị)
Do đó \(\Delta AOB\sim\Delta CDK\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{CK}=\dfrac{AO}{CO}\Rightarrow AB\cdot CO=CK\cdot AO\)
Mà \(AC=AB\Rightarrow AC\cdot CO=CK\cdot AO\)
c, Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AC tại E
Theo tc 2 tt cắt nhau: \(AC=AB;CE=ED\Rightarrow\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{AB}{ED}\)
Lại có AB//CK//DE(⊥BD) nên \(\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{AI}{ID};\widehat{BAI}=\widehat{IDE}\) (so le trong)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{AI}{ID}\)
Do đó \(\Delta ABI\sim\Delta DEI\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{EID}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh và A,I,D thẳng hàng nên B,I,E thẳng hàng
Talet: \(\dfrac{CI}{ED}=\dfrac{AI}{AD};\dfrac{IK}{ED}=\dfrac{BK}{BD};\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{BK}{BD}\)
\(\Rightarrow\dfrac{CI}{ED}=\dfrac{IK}{ED}\Rightarrow CI=IK\) hay I là trung điểm CK
\(\Rightarrow\dfrac{S_{BIK}}{S_{BCK}}=\dfrac{IK}{CK}=\dfrac{1}{2}\)
Mà \(\dfrac{S_{CHK}}{S_{BCK}}=\dfrac{CH}{BC}=\dfrac{1}{2}\) (H là trung điểm BC, bạn tự cm)
Vậy \(S_{BIK}=S_{CHK}\)
17 tháng 11 2021
a)a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+ ABAB là tia phân giác của góc HADHAD
Suy ra: ˆDAB=ˆBAHDAB^=BAH^
+ ACAC là tia phân giác của góc HAEHAE
Suy ra: ˆHAC=ˆCAEHAC^=CAE^
Ta có: ˆHAD+ˆHAE=2(ˆBAH+ˆHAC)HAD^+HAE^=2(BAH^+HAC^)=2.ˆBAC=2.90∘=180∘=2.BAC^=2.90∘=180∘
Vậy ba điểm D,A,ED,A,E thẳng hàng.
b)b) Gọi MM là trung điểm của BCBC
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: AD⊥BD;AE⊥CEAD⊥BD;AE⊥CE
Suy ra: BD//CEBD//CE
Vậy tứ giác BDECBDEC là hình thang.
Vì MM là trung điểm của BCBC và AA là trung điểm của DEDE (vì DE là đường kính đường tròn (A))
Nên MAMA là đường trung bình của hình thang BDECBDEC
Suy ra: MA//BD⇒MA⊥DEMA//BD⇒MA⊥DE (vì BD⊥DEBD⊥DE)
Trong tam giác vuông ABCABC có AM là đường trung tuyến nên ta có: MA=MB=MC=BC2MA=MB=MC=BC2
Suy ra MM là tâm đường tròn đường kính BCBC với MAMA là bán kính
Vậy DEDE là tiếp tuyến của đường tròn tâm MM đường kính BC.