K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Giải phương trình nghiệm nguyên \(2^x+3^y=z^2\)Nếu y=0 thì \(2^x=\left(z-1\right)\left(z+1\right)\)           Nếu \(x=0\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z+1\right)=1\Rightarrow pt\) vô nghiệm.           Nếu \(x\ne0\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z+1\right)\) chẵn           Đặt \(z-1=2m\Rightarrow z+1=2m+2\Rightarrow2^x=\left(z-1\right)\left(z+1\right)=4m\left(m+1\right)\)           Bên trái là lũy thừa cơ số 2,vế phải là tích của 4 cho tích của 2 số...
Đọc tiếp

Giải phương trình nghiệm nguyên \(2^x+3^y=z^2\)

Nếu y=0 thì \(2^x=\left(z-1\right)\left(z+1\right)\)

           Nếu \(x=0\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z+1\right)=1\Rightarrow pt\) vô nghiệm.

           Nếu \(x\ne0\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z+1\right)\) chẵn

           Đặt \(z-1=2m\Rightarrow z+1=2m+2\Rightarrow2^x=\left(z-1\right)\left(z+1\right)=4m\left(m+1\right)\)

           Bên trái là lũy thừa cơ số 2,vế phải là tích của 4 cho tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên dễ dàng suy ra m=1 suy ra x=3;z=3

Nếu \(y\ne0\)

           Nếu x lẻ ta có:\(2^x\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow2^x+3^y\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow z^2\equiv2\left(mod3\right)\) ( vô lý )

           Nếu x=0 ta có:\(3^y=\left(z-1\right)\left(z+1\right)\Rightarrow z=2\Rightarrow y=1\)

           Nếu x khác 0 ta có x là số chẵn nên \(2^x\equiv0\left(mod4\right);z^2\equiv0;1\left(mod4\right)\Rightarrow3^y\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow y=2k\)

           Ta có:\(2^x=z^2-\left(3^k\right)^2=\left(z-3^k\right)\left(z+3^k\right)\)

           Khi đó \(\left(z-3^k\right)\left(z+3^k\right)=2^u\cdot2^v\Rightarrow\hept{\begin{cases}z-3^k=2^u\\z+3^k=2v\end{cases}}\Rightarrow2\cdot3^k=2^u\left(2^{u-v}-1\right)\Rightarrow u=1\)

            \(\Rightarrow z-3^k=2\Rightarrow2^{v-1}-3^k=1\)

            \(3^k\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow2^{v-1}\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow v-1=2t\)

             \(pt\Leftrightarrow2^{2t}-3^k=1\Rightarrow3^k=\left(2^t-1\right)\left(2^t+1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^t-1=3^{k_1}\\2^t+1=3^{k_2}\end{cases}}\)

             \(\Rightarrow3^{k_2}-3^{k_1}=2\Rightarrow3^{k_1}+2=3^{k_2}\Rightarrow k_1=0;k_2=1\Rightarrow z=5\Rightarrow x=4;y=2;z=5\)

Vậy bộ ba nghiệm (x,y,z) thỏa mãn là \(\left(3;0;3\right);\left(0;1;2\right);\left(4;2;5\right)\)

P/S:Bài giải phần đầu có sự trợ giúp của anh Nguyễn Nhất Huy ( giải nhất thi HSG Cấp Thành Phố vòng 1;được lên báo Toán học tuổi trẻ số 509  ),thanks a nhìu.Key đây nha ! Nhầm chỗ nào tự sửa nốt.

 

 

       

 

0
Đề:Cho m,n là các số nguyên dương với \(n>1\).Đặt \(P=m^2n^2-4m+4n\)Chứng minh rằng nếu P là số chính phương thì m=nGiả sử \(m>n>1\) Xét \(\left(mn^2-2\right)^2-n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)\)\(=m^2n^4-4mn^2+4-mn^4+4mn^2-4n^3\)\(=-4n^3+4< 0\) với  \(\forall n>1\)\(\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4n+4n\right)\left(1\right)\)Xét \(n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)-m^2n^4\)\(=m^2n^4-4mn^2+4n^3-m^2n^4\)\(=-4mn^2+4n^3\)\(=-4n^2\left(m-n\right)<...
Đọc tiếp

Đề:Cho m,n là các số nguyên dương với \(n>1\).Đặt \(P=m^2n^2-4m+4n\)

Chứng minh rằng nếu P là số chính phương thì m=n

Giả sử \(m>n>1\)

 Xét \(\left(mn^2-2\right)^2-n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4-mn^4+4mn^2-4n^3\)

\(=-4n^3+4< 0\) với  \(\forall n>1\)

\(\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4n+4n\right)\left(1\right)\)

Xét \(n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)-m^2n^4\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4n^3-m^2n^4\)

\(=-4mn^2+4n^3\)

\(=-4n^2\left(m-n\right)< 0\) với \(\forall m>n>1\)

\(\Rightarrow n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\)

\(\Rightarrow\left(\frac{mn^2-2}{n}\right)^2< P< \left(mn\right)^2\)

Xét \(\frac{mn^2-2}{n}-\left(mn-1\right)=\frac{n-2}{n}\ge0\)  với \(\forall n\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{mn^2-2}{n}\ge mn-1\)

\(\Rightarrow\left(mn-1\right)^2< P< \left(mn\right)^2\left(VL\right)\)

Kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp thì không tồn tại số chính phương nào.OK?

Giả sử \(m< n\)

\(\Rightarrow P>m^2n^2\left(3\right)\)

Xét \(m^2n^2-4m+4n-\left(mn+2\right)^2\)

\(=m^2n^2-4m+4n-m^2n^2-4mn-4\)

\(=n-m-mn-1=n\left(1-m\right)-m-1< 0\) 

\(\Rightarrow P< \left(mn+2\right)^2\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\left(mn\right)^2< P< \left(mn+2\right)^2\)

Để P là số chính phương thì \(P=\left(mn+1\right)^2\)

\(\Rightarrow m^2n^2-4m+4n=m^2n^2+2mn+1\)

\(\Rightarrow-4m+4n-2mn=1\) quá VL

Với  \(m=n\Rightarrow P=m^2n^2=\left(mn\right)^2\left(Lscp\right)\) cực kỳ HL:v

P/S:Ko chắc đâu nha.m thử làm bài 1 cấy.t cụng ra rồi nhưng coi cách m cho nó chắc:v Định dùng cách kẹp khác mà đề cho chặt quá:((

 

 

1
15 tháng 11 2019

 \(A\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-1\right)+4\)(1)

 \(A\left(x\right)=P\left(x\right)\left(x-3\right)+14\)(2)

\(A\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)T\left(x\right)+F\left(x\right)\)(3)

Đặt : \(F\left(x\right)=ax+b\)

Với x=1  từ (1) và (3) 

\(\hept{\begin{cases}A\left(1\right)=4\\A\left(1\right)=a+b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b=4\)(*)

Với x=3 từ (3) và (2)

\(\hept{\begin{cases}A\left(3\right)=14\\A\left(3\right)=3a+b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3a+b=14\)(**)

Từ (*) và (**)

\(\Rightarrow2a=10\Rightarrow a=5\Rightarrow b=-1\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=ax+b=5x-1\)

T lm r, ko bt có đúng ko:))

a,ta có:(x2+7x+3)2=x4+14x3+55x2+42x+9(8x+4)(x2+5x+2)=8x3+44x2+36x+8=>x4+14x3+55x2+42x+9=8x3+44x2+36x+8<=>x4+6x3+11x2+6x+1=0xét x=0 ko phải no của ptxét x khác 0\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)d,xét n=1=> mệnh đề luôn đúnggiả sử mệnh đề...
Đọc tiếp

a,

ta có:

(x2+7x+3)2=x4+14x3+55x2+42x+9

(8x+4)(x2+5x+2)=8x3+44x2+36x+8

=>x4+14x3+55x2+42x+9=8x3+44x2+36x+8

<=>x4+6x3+11x2+6x+1=0

xét x=0 ko phải no của pt

xét x khác 0

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)

d,

xét n=1=> mệnh đề luôn đúng

giả sử mệnh đề đúng với n=k

ta sẽ cm nó đúng với n=k+1

với n=k+1

=>(n+1)(n+2)..(n+n)=2n(n+1)(n+2)...(2n-1)

=2(k+1)(k+2).....2k chia hết cho 2k+1

=>(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) chia hết cho 2n

c,

ta có:

\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)=1+x+y+\frac{y}{x}\ge1+y+2\sqrt{y}=\left(\sqrt{y}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)^2\ge\left[\left(\sqrt{y}+1\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)\right]^2\)

\(=\left(\sqrt{y}+\frac{9}{\sqrt{y}}+10\right)^2\ge\left(6+10\right)^2=256\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi y=9;x=3

b,

x7+xy6=y14+y8

<=>(x7-y14)+(xy6-y8)=0

<=>(x-y2)(x+y2)+y6(x-y2)=0

<=>(x-y2)(x+y2+y6)=0

xét x=y2

\(\Rightarrow\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2-1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2+8}=6\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{4y^2+5}-3\right)+\left(\sqrt{y^2+8}-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{4y^2-4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{y^2-1}{\sqrt{y^2+8}+3}=0\)

\(\Rightarrow\left(y^2-1\right)\left(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}\right)=0\)

\(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}>0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(1;-1\right)\)

xét x+y2+y6=0

<=>x=-y2-y6

lại có:

x7+xy6=y14+y8

<=>x(x6+y6)=y14+y8

<=>-(y2+y6)(x6+y6)=y14+y8

mà \(-\left(y^2+y^6\right)\left(x^6+y^6\right)\le0\le y^{14}+y^8\)

<=>y=0=>x=0(ko thỏa mãn)

vậy nghiệm của pt:(x;y)=(1;-1);(1;1)

1
14 tháng 10 2017

câu hệ sao từ x^7-y^14 sao xuống đc (x-y^2)(x+y^2) ? 

23 tháng 4 2018

\(x.P\left(x+2\right)-\left(x-3\right).P\left(x-1\right)=0\)

\(P\left(x+2\right)\)\(P.\left(x+2\right)\) còn \(P\left(x-1\right)\)\(P.\left(x-1\right)\) à?

23 tháng 4 2018

Ko! Tớ nghĩ ko có phép nhân ở đó đâu vì chỗ x.P(x+2). Nếu nó là phép nhân thì sao chỗ x.P cô viết dấu "." làm gì!

Cậu làm dạng bài nè chưa?

NV
7 tháng 2 2021

\(u_n-u_{n+1}=u_n+\left(1-u_{n+1}\right)-1\ge2\sqrt{u_n\left(1-u_{n+1}\right)}-1>0\)

\(\Rightarrow u_n>u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm

Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn.

Gọi giới hạn đó là k

\(\Rightarrow k\left(1-k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(2k-1\right)^2\le0\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{2}\)

26 tháng 6 2017

Em không hiểu anh viết gì hết.lolanglolanglolang

26 tháng 6 2017

khỏi hỉu

15 tháng 10 2023

2:

\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{3^n+1}{2^n-1}\)

\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{3^n}{3^n}+\dfrac{1}{3^n}}{\dfrac{2^n}{3^n}-\dfrac{1}{3^n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{3^n}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-\dfrac{1}{3^n}}=1\)

15 tháng 10 2023

3:

\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{2-5^{n-2}}{3^n+2\cdot5^n}\)

\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2}{5^n}-\dfrac{5^{n-2}}{5^n}}{\dfrac{3^n}{5^n}+2\cdot\dfrac{5^n}{5^n}}\)

\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2}{5^n}-\dfrac{1}{25}}{\left(\dfrac{3}{5}\right)^n+2\cdot1}\)

\(=-\dfrac{1}{25}:2=-\dfrac{1}{50}\)

1:

\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{3^n-4^n\cdot4}{3^n\cdot9+4^n}\)

\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{3^n}{4^n}-4}{3^n\cdot\dfrac{9}{4^n}+1}\)

\(=-\dfrac{4}{1}=-4\)