chứng minh rằng với mọi x,y: \(x^4+y^4\ge xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SA
15 tháng 11 2018
bđt <=> x4 + y4 - x3y - xy3 ≥ 0
<=> x(x3 - y3) - y(x3- y3) ≥ 0
<=> x(x - y)(x2 + xy + y2) - y(x - y)(x2 + xy + y2) ≥ 0
<=> (x - y)2(x2 + xy + y2) ≥ 0 (1)
Ta có: (x - y)2 ≥ 0 ∀x, y
x2 + xy + y2 = (x + \(\dfrac{1}{2}\)y)2 + \(\dfrac{3}{4}\)y2 ≥ 0 ∀ x, y
=> (1) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
16 tháng 11 2018
theo bđt cauchy schwars ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\x^4+x^2y^2\ge2x^3y\\y^4+x^2y^2\ge2xy^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4\right)+2x^2y^2\ge2\left(xy^3+x^3y\right)+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\)
vậy đpcm
DT
1
PG
11 tháng 2 2020
\(2\left(x^4+y^4\right)\ge xy^3+x^3y+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)+\left(x^4-x^3y\right)+\left(y^4-xy^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+x^3\left(x-y\right)+y^3\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{2}\right]\ge0\) ( đúng )
PT
2
UI
20 tháng 8 2019
Ap dung bdt Cosi cho 2 so ko am la x2 va y2/4 ta duoc
\(x^2+\frac{y^2}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2.y^2}{4}}=2.\frac{xy}{x}=xy\)
Dau = xay ra <=> x=1/2y
Chuc ban hoc tot
UI
20 tháng 8 2019
cai duoi mau la 2 nha chu ko phai la x dau , mik danh nhanh nen viet nham ban thong cam
16 tháng 4 2019
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
S1
16 tháng 4 2019
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
16 tháng 8 2021
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
S
1
PN
14 tháng 12 2020
\(bdt< =>x\left(x+y\right)\le\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{y}< =>x^2-xy+y^2\ge xy\)
\(< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(dpcm)
TN
0
HT
4
