1/CMR a/$x^4-2x^3 2x^2-2x 1\ge0\forall x\in R$ b/cho $a\ge0,b\ge2,a b c=3$. CMR : $a^2 b^2 c^2\le5$ c/cho a,b,c >0 . CMR : \(\frac{b c}{a} \frac{a c}{b} \frac{a b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b c} \...

0

S

Sakura

14 tháng 8 2019

1/CMR

a/$x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\forall x\in R$

b/cho $a\ge0;b\ge2;a+b+c=3$

CMR: $a^2+b^2+c^2\le5$

c/ a,b,c>0 CMR: $\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

14 tháng 8 2019

Bài 1:

a) Ta thấy:

$x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1)$

$=(x^2-x)^2+(x-1)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.$ hay $x=1$

b) Đề sai với $a=0,5; b=2,3; c=0,2$. Nếu đề bài của bạn giống bài dưới đây, tham khảo nó tại link sau:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

(Nghi binh 28/09)Đang có hứng:Bài 1: CMR $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\forall a,b,c\ge0$Bài 2: CMR $\frac{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\left(a+b+c\right)$$\forall a,b,c\ge0$Bài 1 thì dễ rồi, bài 2 mình mới tìm...

KK

KCLH Kedokatoji

28 tháng 9 2020

5

NC

Ngô Chi Lan

28 tháng 9 2020

Não đặc-.-

Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek

Bài 1: CMR: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0$ với a,b,c dương

Bài làm:

Ta có: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

$\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}$

$=1-1=0$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c$

KK

KCLH Kedokatoji

28 tháng 9 2020

Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r

S

senorita

28 tháng 3 2019

1. $3x^2+21x+18+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$

2. $x^4+2x^3+x^2-2+2\sqrt{x^2+2x+2}=0$

3. Cho các số dương a,b,c CMR

$\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}\ge4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)$

4. Cho $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=2\sqrt{1+a}$CMR $x+y\ge2a$

1. cho $0< a\le b\le c$ . Cmr: $\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ 2. cho $a,b,c\ge0$. cmr: $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)$ 3. $a,b,c>0.$ Cmr: $\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}$ 4. $a,b,c0$. Tìm Min...

0

BN

bach nhac lam

19 tháng 10 2019

5

T

tthnew

11 tháng 11 2019

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$.

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: $a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu $abc\ne0$. Chia hai vế của BĐT cho $\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}$

BĐT quy về: $\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1$

Cần chúng minh: $x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)$ (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0$

$\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z$. Thay vào (1):

$VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$

$=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz$

$\ge2\left(xy+yz+zx\right)$

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

T

tthnew

6 tháng 7 2020

Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:

Định lí SOS: Nếu $X+Y+Z=0$ thì $AX^2+BY^2+CZ^2\ge0$

khi $\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.$

Chứng minh: Vì $\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0$

Nên ta có thể giả sử $A+C\ge0$. Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$

$AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2$

$={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0$

B1:Giải bpt sau:$\left(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\right).\left(x^6-x^3+x^2-x+1\right)\ge0$B2:Cho a;b;c>0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR $3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$B3:giải pt nghiệm nguyên sau...

TN

Trần Nguyễn Khánh Linh

21 tháng 10 2017

3

TH

Trần Hữu Ngọc Minh

21 tháng 10 2017

bài 2

ta có $\left(\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\right)^2$

$=\left(\sqrt{a}.\sqrt{\frac{8a^2+1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{8b^2+1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{8c^2+1}{c}}\right)^2$$=\left(A\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có;

$\left(A\right)\le\left(a+b+c\right)\left(8a+\frac{1}{a}+8b+\frac{1}{b}+8c+\frac{8}{c}\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left(9a+9b+9c\right)=9\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$(đpcm)

Dấu $=$xảy ra khi $a=b=c=1$

VT

vũ tiền châu

21 tháng 10 2017

câu 1 dễ mà liên hợp đi x=$\frac{4}{5}$

Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :$\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}$Bài 2:Cho $a>0,b>0,c>0$.$CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:$\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}$b) Chứng minh...

LT

Lê Tài Bảo Châu

27 tháng 7 2020

6

KN

Kiệt Nguyễn

1 tháng 8 2020

Xét $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b$

Tương tự, ta được: $\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c$; $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a$

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: $\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)$$-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0$

$\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$$=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: $a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0$*đúng*

$\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}$$\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}$

$\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS$(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

PM

Phùng Minh Quân

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được $\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}$

$VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}$

bài 2 xem có ghi nhầm ko

TK

Trần Khánh Huyền

12 tháng 1 2020

với ∀a,b,c thuộc R, CMR:

$\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge2+\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}$

#Toán lớp 10

1

VH

Võ Hồng Phúc

14 tháng 1 2020

@Akai Haruma

NT

Nguyễn Thị Thu Hằng

2 tháng 9 2019

Bài 1 : Cmr :

a, $a+\frac{1}{a-1}\ge3$ với mọi a>1

b, $\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2$ với mọi a $\in R$

Bài 2 : Cho a>0. Cmr $\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2$

Bài 3 : Cho a,b,c>0. Cmr $1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2$

2

TT

Trần Thanh Phương

2 tháng 9 2019

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

$VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=2$.

b) BĐT $\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}$

$\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0$ ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=0$.

Bài 2: tương tự 1b.

TT

Trần Thanh Phương

2 tháng 9 2019

Bài 3:

Do $a,b,c$ dương nên ta có các BĐT:

$\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$

Tương tự: $\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$

Cộng theo vế 3 BĐT:

$\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$( đpcm )

PT

phú tâm

6 tháng 2 2020

cho a,b khác 0
cmr: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0$

#Toán lớp 8

2

DH

Diệu Huyền

6 tháng 2 2020

Ta có: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4$

$=\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\right)-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2$

$=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2$

$=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)$

$=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\right)$

$=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-ab}{ab}$

$=\frac{\left(a-b\right)^2\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\right]}{a^2b^2}\ge0\forall a,b$

$\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0\left(đpcm\right)$

KH

Kiêm Hùng

6 tháng 2 2020

Bất phương trình bậc nhất một ẩn