Tìm số nguyên n sao cho \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=n-6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 10 2018
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\ge2014\)
\(\Rightarrow\frac{1-\sqrt{2}}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}+...+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}\)
\(=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{-1}\)
\(=\frac{1-\sqrt{n+1}}{-1}=\sqrt{n+1}-1\ge2014\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n+1}\ge2015\)
\(\Leftrightarrow n+1=2015^2=4060225\)
\(V~~n=4060224\)
26 tháng 7 2017
b/ \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(=\sqrt{n+1}-1\)
Câu a quy đồng từ từ từ phải qua trái là ra
15 tháng 9 2019
Tại \(n\in N,n\ge1\) có:
\(\frac{1}{\left(n+3\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+3}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+3\right)}\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+3\right)}\left(n+3-n\right)}=\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}{3\sqrt{n\left(n+3\right)}}\)
=\(\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)
=> \(\frac{1}{\left(n+3\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+3}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\) (1)
Áp dụng (1) vào Q có:
Q=\(\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)+...+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)=\(\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)
=\(\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{6}}-..-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)
=\(\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}-\frac{1}{\sqrt{n+3}}\right)\)
15 tháng 9 2019
@Vũ Minh Tuấn @Lê Thị Thục Hiền @Băng Băng 2k6
9 tháng 10 2016
Bài 1:
Có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Có: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
xong bn áp dụng lên trên lm tiếp
9 tháng 10 2016
Bài 3:
theo bđt cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}\cdot1}\le\left(\frac{b+c}{a}+1\right):2=\frac{b+c+a}{2a}\)
=> \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\) (1)
Tương tự ta có :
\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) (2)
\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\) (3)
Cộng vế vs vế (1)(2)(3) ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
26 tháng 2 2022
Xét số hạng tổng quát ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài tập, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)
12 tháng 12 2017
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\end{cases}}\)
Từ đây ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n}-0\right)=2\sqrt{n}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)
NN
12 tháng 12 2017
Gọi \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=A\)là A
Có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)
=> \(A>n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)(1)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Khi đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)
...
\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
=> \(A< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}\right)\)
=> \(A< 2\sqrt{n}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\sqrt{n}< A< 2\sqrt{n}\)
CM
13 tháng 5 2023
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho k + 1 số ta có:
Lần lượt cho k = 1, 2, 3, ... rồi cộng lại ta được
A.x^2-y^2+2y
b 2x+2y-x^2-xy
c, 3a^2-6ab+3b^2-12
d,x^2 - 25+y^2+2xy
e,^2+2ab+b^2-ac-bc
f, x^2-2x-4y^2-4y
f,x^2y-x^3-9y+9x
h,x^2(x-1)+16(1-x)
n81x^2-4
m,xz-yz-x^2+2xy-y^2
p,x^2+8x+15
k,x^2-x-12
bài 5 tìm x biết
a 2x(x-5)-x(3+2x)=26
b, 5x(x-1)=x-1
c,2(x+
d, (2x-3)^2-(x+5)^5=0
e,3x^2-48x=0
f, x^3+c
bài 6 chứng minh rằng biểu thức
A= x (x-6) +10 luôn dương với mọi x,y.
B=x^2-2x+9y^2-6y+3 luôn dươn với mọi x,y.
bài 7: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a,b,c và giá trị lớn nhất của biểu thức D,E.
A = x^2 - 4x +1
B=3x^2+4x+11
C = (x-1)(x+3)(x+2)(x+6)
D= 55-8x-x^2
E= 4x-x^2 +1
Bài9: cho phân thức sau :
____