Cho a, b, c là các số nguyên tố thỏa mãn a + b + c = 66 và ab+bc+ca= 1071. Tính giá trị của a.b.c?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
20 tháng 8 2023
Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu bằng việc tìm giá trị của a + b + c và ab + bc + ca.
Theo đề bài, ta có: a.b.c = 1
Đặt S = a + b + c và P = ab + bc + ca. Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: (a^2 + b^2 + c^2) - (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8(a + b + c) - 8(ab + bc + ca) (a^2 + b^2 + c^2) - (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8S - 8P
Để đơn giản hóa công thức, ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với a^2b^2c^2: (a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2b^2c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8(a^2b^2c^2)(S - P)
Sau khi nhân và rút gọn, ta được: (a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 8(a^2b^2c^2)(S - P)
Do a.b.c = 1, ta có: a^2b^2c^2 = 1
Thay lại vào phương trình trên, ta có: (a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 8(S - P)
Rút gọn các thành phần, ta được: a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 = 8(S - P)
Ta có thể viết lại đẹp hơn bằng cách nhân 2 vào cả hai vế: 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2) = 16(S - P)
Rút gọn, ta được: 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2) = 16S - 16P
Từ đó, ta có: 16P - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
Chú ý rằng: P = ab + bc + ca S = a + b + c
Tiếp theo, ta sẽ xem xét biểu thức P = 1/a-1 + 1/b-1 + 1/c-1. Ta có thể viết lại biểu thức này như sau: P = (1/a + 1/b + 1/c) - 3
Ta biết rằng abc = 1, do đó: 1/a + 1/b + 1/c = ab + bc + ca
Thay vào biểu thức P, ta có: P = (ab + bc + ca) - 3
Như vậy, biểu thức P có thể được thay bằng biểu thức P = P - 3.
Tiếp theo, ta sẽ sử dụng kết quả từ phương trình trên để tính giá trị của P.
16P - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
Thay P = P - 3 vào phương trình trên, ta có: 16(P - 3) - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
Rút gọn và chuyển thành phương trình bậc hai: 16P - 48 - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
8P - 24 - 8S = a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2
8P - 8S = a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 24
8(P - S) = (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)^2 - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 24
Đặt Q = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2, ta có: 8(P - S) = Q^2 - Q - Q + 24
8(P - S) = Q^2 - 2Q + 24
8(P - S) = (Q - 4)^2
Ta có thể viết lại thành phương trình: (P - S) = (Q - 4)^2 / 8
Do đó, giá trị của P - S là bình phương của một số chia cho 8.
Tuy nhiên, chúng ta không có thông tin cụ thể về giá trị của Q, vì vậy không thể tìm ra giá trị chính xác của P - S.
Vì vậy, không thể tính giá trị của biểu thức P = 1/a-1 + 1/b-1 + 1/c-1 chỉ dựa trên thông tin đã cho trong bài toán.
NN
26 tháng 12 2023
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1+1+1}{a+b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
20 tháng 11 2021
\(P=bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-9}+ab\sqrt{c-16}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{abc}=\dfrac{P}{1152}=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-9}}{b}+\dfrac{\sqrt{c-16}}{c}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(2\sqrt{a-1}\le a-1+1=a\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\le\dfrac{1}{2}\\ 2\sqrt{9\left(b-9\right)}\le9+b-9=b\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{b-9}}{b}\le\dfrac{1}{6}\\ 2\sqrt{16\left(c-16\right)}\le16+b-16=c\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{c-16}}{c}\le\dfrac{1}{8}\)
Cộng VTV \(\Leftrightarrow\dfrac{P}{1152}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{19}{24}\)
\(\Leftrightarrow P\le912\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b-9=9\\c-16=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=18\\c=32\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021
Lời giải:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)
\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)
\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)
$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$
K
11 tháng 5 2023
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:
P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a
Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0
Vậy giá trị lớn nhất của P là:
P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b
Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:
P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)
Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2021
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
