Cho tam giác abc nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng 3, AC = 4. Điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\) . tính BM
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
25 tháng 12 2020
1.
Gọi G là trọng tâm tam giác
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow O\equiv G\)
\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a
\(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{8}a^2-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=0\)
Mặt khác \(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)\)
\(\Rightarrow BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=90^o\)
HP
25 tháng 12 2020
\(BD=\dfrac{AB}{cos45^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=a\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}BA.BC.cos90^o+\dfrac{1}{4}BA.BD.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD.BC.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD^2\)
\(=\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=a^2\)
18 tháng 3 2016
Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\)
Ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)
Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C ( cũng là hình chiếu của H) trên các đường thẳng BC, CA, AB và gọi Ao, Bo, Co theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB (như hình vẽ)
Chiếu vectơ \(\overrightarrow{u}\) lên đường thẳng BC theo phương của \(\overrightarrow{AH}\) ta được
\(\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{A_oA_1}+\overrightarrow{A_oB}+\overrightarrow{A_oC}-\overrightarrow{A_oA_1}=\overrightarrow{O}\)
Suy ra \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AH}\) (1)
Tương tự như vậy,
ta cũng có \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{BH,}\overrightarrow{CH}\) (2)
Từ (1) và (2) và do các vectơ \(\overrightarrow{AH,}\), \(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}\) đôi một không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)
Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)
Nhưng \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) nên \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)
Do đó G, H, O thẳng hàng
Gọi I là trung điểm của AC \(\Rightarrow IC=\frac{AC}{2}=2\) và \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OI}\)
\(OI\perp AC\Rightarrow\Delta OIC\) vuông tại I, áp dụng Pytago:
\(OI=\sqrt{OC^2-IC^2}=\sqrt{5}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+2\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{OI}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}=4\overrightarrow{OI}\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{BM}\right|=\left|4\overrightarrow{OI}\right|=4OI=4\sqrt{5}\)