CMR nếu a>b>0 thì\(\sqrt{a}-\sqrt{b},< \sqrt{a-b}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử √a - √b < √(a - b)
⇔ (√a - √b)² < √(a - b)²
⇔ a - 2√(ab) + b < a - b
⇔ a - 2√(ab) + b - a + b < 0
⇔ 2b - 2√(ab) < 0
Do a > b > 0 nên ab > b²
⇒ √(ab) > b
2b - 2√(ab) < 0 (luôn đúng)
Vậy √a - √b < √(a - b)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh điều ngược lại đúng tức là. Cho a,b,c>0 thỏa \(b+c=2a\) thì \(\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le2\sqrt{a+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\left(\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\)
\(\le\left(1+1\right)\left(b+1+c+1\right)\)
\(=2\left(b+c+2\right)\le4\left(a+1\right)=VP\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{b+1}+\sqrt{1+c}\right)^2\le4\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{b+1}+\sqrt{1+c}\le\sqrt{4\left(a+1\right)}=2\sqrt{a+1}\)
BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM
Chứng minh điều ngược lại đúng, tức là :Cho a,b,c>0 thỏa \(b+c=2a\) thì \(\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le2\sqrt{a+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\)
\(\le\left(1+1\right)\left(b+1+c+1\right)\)
\(=2\left(b+c+2\right)=2\left(2a+2\right)\)
\(=4\left(a+1\right)=2^2\sqrt{\left(a+1\right)^2}=VP^2\)
Vì \(VT^2\le VP^2\Rightarrow VT\le VP\)
BĐT kia đúng nên ta có ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Nhận thấy \(a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)<=>\(a+b< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
Do a,b đều dương, lấy căn 2 vế ta được:
\(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)
\(=\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]+2\sqrt{ab}\)
\(A.B=\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab+1}\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]\)
Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x;\)\(\sqrt{ab}=y\)\(\left(x;y\in Q\right)\)thì :
\(A+B=x\left(x^2-3y\right)+2y\)
\(A.B=y\left(y+1\right)+xy\left(x^2-3y\right)\)
\(\Rightarrow\)Các đa thức này là các số hữa tỉ \(\left(đpcm\right)\)
ta có \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b\)
\(=a-b-2\sqrt{ab}+2b\)
\(=a-b-2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
VÌ a>b>0 NÊN \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\)
suy ra : \(a-b-2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< a-b\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< \left(\sqrt{a-b}\right)^2\)
VẬY \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\left(đ.p.c.m\right)\)