Bài 1. Cho a, b, c $\in$Q tm ab bc ac=1CMR: $A=\sqrt{\left(a^2 1\right)\left(b^2 1\right)\left(c^2 1\right)}$là số hữu tỉB2. $B=\sqrt{2 \sqrt{2 ... \sqrt{2}}}$( có 100 dấu căn)CMR: B ko là số...

CG

Cô gái thất thường (Ánh Dương)

7 tháng 7 2019

Bài 1. Cho a, b, c $\in$Q tm ab+bc+ac=1CMR: $A=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}$là số hữu tỉB2. $B=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$( có 100 dấu căn)CMR: B ko là số tự nhiênB3.CMR: $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}< 3$các đại ca đại tỷ giúp mk...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

B

💋Bevis💋

7 tháng 7 2019

3) Ta có:$\sqrt{2000}< 2001$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{1999.\sqrt{2000}}< \sqrt{1999.2001}< \frac{1999+2001}{2}=2000$

Tương tự ta có:

$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4--...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4=.\sqrt{1999.2001}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4-\sqrt{1998.2000}}}}--< \sqrt{2.4}< 3$

Đúng(0)

B

💋Bevis💋

7 tháng 7 2019

1)

Với ab + bc + ac = 1 có:

$a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)$

$b^2+1=b^2+bc+ca+ab=b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)$

$c^2+1=c^2+bc+ca+ab=c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)$

Do đó: $\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}$

$=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}$

$=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}$

$=|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)|$

Vì $a,b,c\in Q\Rightarrow|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)|\in Q\left(đpcm\right)$

Đúng(0)

TV

Thảo Vi

8 tháng 3 2021

Cho a,b,c là số dương. CMR:

1. $\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3$

2. $a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\le a^3+b^3+c^3$

3. $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}$

#Toán lớp 10

5

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 3 2021

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$

Ta có đpcm.

Đúng(2)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 3 2021

Bài 2:

$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$

$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$

$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(1)

N

Nameless

11 tháng 12 2017

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac = 1. Tính

$P=a\sqrt{\frac{\left(1+c^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}$

#Toán lớp 9

1

DA

Đức Anh

11 tháng 12 2017

Từ ab + bc + ac =1

=> ab + bc + ac + a² = 1 + a²

=> 1 + a² = (a+b)(a+c) (1)

Tương tự: 1 + b² = (a+b)(b+c) (2)

1 + c² = (a+c)(b+c) (3)

Thay (1) (2) (3) vào P

P= a$\sqrt{\left(b+c\right)^2}$+ b$\sqrt{\left(a+c\right)^2}$+ c$\sqrt{\left(a+b\right)^2}$

= a|b+c| + b|a+c| + c|a+b|

= a(b+c) + b(a+c) + c(a+b) (do a,b,c >0)

= ab + ac +ab + bc +ac +bc

= 2(ab + ac + bc)

=2

Đúng(0)

L

Lyzimi

24 tháng 6 2017

cho a, b, c là các số ko âm tm :a+b+c=1006

cmr $\sqrt{2012a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2012\sqrt{2}$

#Toán lớp 9

0

VD

Vũ Đức

6 tháng 10 2019

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.

CMR: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}$

#Toán lớp 9

0

VT

Vũ Tiền Châu

2 tháng 1 2018

từ giả thiết, ta có $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1$ đặt $\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1$ =>$\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)$ ta có...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

TP

Tâm Phạm

6 tháng 9 2016

Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab+bc+ac=1

Chứng minh: $\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}$ là 1 số hữu tỉ

#Toán lớp 9

1

IM

Isolde Moria

6 tháng 9 2016

Vì ab+bc+ca=1

$\Rightarrow a^2+1$

$=a^2+ab+bc+ca$

$=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)$

$=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)$

$=\left(a+b\right)\left(a+c\right)$

Tương tự ta được $\begin{cases}b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\\c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}$

$\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}$

$=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}$

$=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|$

Mặt khác a;b;c là số hữa tỉ

$\Rightarrow\begin{cases}a+b\\b+c\\c+a\end{cases}$ là số hữu tỉ

$\Rightarrow\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|$ là số hữu tỉ

=> đpcm

Đúng(0)

PT

Phạm Thùy Dung

5 tháng 10 2019

Cho các số dương a , b , c $\ne0$ . TM: a +b + c =abc . Tìm GTLN của bt $\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+A^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}$

#Toán lớp 9

2

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 10 2019

$\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=a\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{c+a}}\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}$

Tương tự 2 cái còn lại cộng lại ta đc $VT\le\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Đúng(0)

N

Nyatmax

6 tháng 10 2019

Cach khac

Dat $P=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}$

Ta co:

$a+b+c=abc$

$\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Dat $\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)$

$\Rightarrow xy+yz+zx=1$

$\Rightarrow P=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}$

Ta lai co:

$\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}\right)$

Tuong tu:

$\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}\right)$

$\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}\right)$

$\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}$

Dau '=' xay ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}$

Vay $P_{min}=\frac{3}{2}$khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Đúng(0)

PT

phan thị minh anh

10 tháng 6 2016

Bài 1 : Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab+bc+ca=1

CM : Q=$\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}$ là 1 số hữu tỉ

#Toán lớp 9

2

LN

Lương Ngọc Anh

10 tháng 6 2016

thay 1 bởi ab+bc+ca

ta có :Q=$\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}$

ta thấy $a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)$

$b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)$

$c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)$

=> Q= $\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}$=$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$là một số hữu tỉ vì a,c,b là các số hữu tỉ

Đúng(0)

TN

Trần Ngọc Khánh

4 tháng 7 2016

Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
$a2 + 1 = a 2 + a b + a c + b c = (a^{2} + a b) + (a c + b c)$

$= a (a + b) + c (a + b) = (a + c) (a + b)$

Tương tự, ta có:
$b^{2} + 1 = (b + a) (b + c)$
$c^{2} + 1 = (c + a) (c + b)$

Do đó:
$\sqrt{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (c^{2} + 1)} = (a + c) (a + b) (b + c) (b + a) (c + a) (c + b)$

$= (a + b)^{2} (a + c)^{2} (b + c)^{2} = | (a + b) (a + c) (b + c) |$

Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
$| (a + b) (a + c) (b + c) |$ là số hữu tỷ. (đpcm)

Đúng(0)

DH

Doãn Hoài Trang

6 tháng 10 2019

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.

CMR: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}$

#Toán lớp 9

1

T

tthnew

6 tháng 10 2019

$VT=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}$

$=3+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}$(1)

Theo BĐT AM-GM: $\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b^2}}$

Tương tự: $\frac{1}{2}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c^2}}$

$\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{a^2}}$

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thay vào 1 ta sẽ thu được đpcm.

Đúng(0)

T

tthnew

6 tháng 10 2019

Ý em là thay vào (1) !!

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP