Question

[Nguyễn Đức Nam]

Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm O thỏa mãn góc ABO=ACO=90 độ. K đối xứng với C qua O. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với KC, cắt BC tại I. Chứng minh AK vuông góc với OI

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Xét tam giác ABO vuông tại B và ACO  vuông tại C

có: AB=AC , AO chung

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\)

=> BO=CO

Xét tam giác DBC có: BO=CO=KO

=> Tam giác KBC vuông tại B

=> KB vuông góc với CI

Xét tam giác IKC vuông tại K có KB là dường cao

=> \(BK^2=IB.BC\Rightarrow\frac{BK}{IB}=\frac{BC}{BK}\)(1)

Ta có tam giác OBK vuông cân tại O và tam giác ABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\widehat{OBK}=\widehat{OKB}\)(2)

mà \(\widehat{OBK}+\widehat{OBC}=\widehat{CBK}=90^o=\widehat{ABO}=\widehat{ABC}+\widehat{OBC}\)

=> \(\widehat{OBK}=\widehat{ABC}\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra : \(\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{BK}\)(4)

Từ (1) và (4) 

=> \(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)

Xét tam giác IBO và tam giác KBA có:

\(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)( chứng minh trên)

\(\widehat{IBO}=\widehat{KBA}\)( vì \(\widehat{IBK}=\widehat{OBA}=90^o\))

=> \(\Delta IBO~\Delta KBA\)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)

Gọi giao điểm của IO và AK là H

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{BOH}\)

=> BAOH nội tiếp

=> \(\widehat{OHA}=\widehat{OBA}=90^o\)

( Nếu chua học nội tiếp em hãy xét hai tam giác đồng dạng)

=> IO vuông AK