K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 7 2019

K O C A B I H 1 1

Xét tam giác ABO vuông tại B và ACO  vuông tại C

có: AB=AC , AO chung

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\)

=> BO=CO

Xét tam giác DBC có: BO=CO=KO

=> Tam giác KBC vuông tại B

=> KB vuông góc với CI

Xét tam giác IKC vuông tại K có KB là dường cao

=> \(BK^2=IB.BC\Rightarrow\frac{BK}{IB}=\frac{BC}{BK}\)(1)

Ta có tam giác OBK vuông cân tại O và tam giác ABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\widehat{OBK}=\widehat{OKB}\)(2)

mà \(\widehat{OBK}+\widehat{OBC}=\widehat{CBK}=90^o=\widehat{ABO}=\widehat{ABC}+\widehat{OBC}\)

=> \(\widehat{OBK}=\widehat{ABC}\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra : \(\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{BK}\)(4)

Từ (1) và (4) 

=> \(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)

Xét tam giác IBO và tam giác KBA có:

\(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)( chứng minh trên)

\(\widehat{IBO}=\widehat{KBA}\)( vì \(\widehat{IBK}=\widehat{OBA}=90^o\))

=> \(\Delta IBO~\Delta KBA\)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)

Gọi giao điểm của IO và AK là H

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{BOH}\)

=> BAOH nội tiếp

=> \(\widehat{OHA}=\widehat{OBA}=90^o\)

( Nếu chua học nội tiếp em hãy xét hai tam giác đồng dạng)

=> IO vuông AK

4 tháng 2 2019

A B C I O K M N J H E F D x

Gọi E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Tia AI cắt (O) tại D khác A. DE giao BC tại F.

Ta thấy \(\Delta\)MIN và \(\Delta\)AIE cân tại I có ^IMN = ^IAE (Vì MN // AE vuông góc OI) => ^MIN = ^AIE => I,N,E thẳng hàng.

=> MN là đường trung bình \(\Delta\)AIE => AE = 2.MN, IE = 2.IN 

Ta có: AE // IK (Cùng vuông góc OI) => ^KIE = ^IEA = ^IAE = ^BAE - ^BAD = ^BDx - ^DBC = ^BFD = ^KFE

=> Tứ giác KEIF nội tiếp => ^KEI = ^BFI     (1)

Mặt khác: \(\Delta\)DFC ~ \(\Delta\)DCE (g.g) => DC2 = DF.DE => DI2 = DF.DE => \(\Delta\)DFI ~ \(\Delta\)DIE (c.g.c)

=> ^DFI = ^DIE = 2.^IAE = 2.^BFD (Vì ^IAE = ^BFD)  => ^KIE = ^BFI  (2)

Từ (1) và (2) => ^KIE = ^KEI => \(\Delta\)IKE cân tại K. Từ đó: \(\Delta\)IKE ~ \(\Delta\)AIE (g.g) => IE2 = IK.AE

Dễ thấy MJ là đường trung bình \(\Delta\)AIK => IK = 2.MJ. Kết hợp với AE = 2.MN (cmt)

Suy ra: IE2 = 4.MJ.MN hay AI2 = 4.MJ.MN => 4.MA2 = 4.MJ.MN => MA2 = MJ.MN => \(\Delta\)MJA ~ \(\Delta\)MAN (c.g.c)

=> ^MJA = ^MAN. Tương tự thì ^MJI = ^MIN => ^MJA + ^MJI = ^MAN + ^MIN => ^AJI = 1800 - ^ANI

Lại có: H là trực tâm \(\Delta\)AIN => ^AHI = 1800 - ^ANI. Do đó: ^AHI = ^AJI => Tứ giác AIHJ nội tiếp

=> ^AJH + ^AIH = 1800 <=> ^MJA + ^MJH + 900 - ^IAN = ^MJH + 900 = 1800 => ^MJH = 900 

=> JH vuông góc MN. Mà OI cũng vuông góc MN nên JH // OI (đpcm).

10 tháng 8 2017

b)    CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

= > B D B A = B M B E = > Δ B D M ~ Δ B A E ( c − g − c ) = > B M D = B E A

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD AH .

DBCD TH //BD  = > T H B D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD TA //FD  = > T A F D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (4)

BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .