Cho x, y thuộc R, x+y lớn hơn hoặc bằng 3. Chứng minh rằng:
x + y + 1/2x + 2/y lớn hơn hoặc bằng 9/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 9 2018
\(a)\) Giả sử \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2+2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2\left|xy\right|+y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left|xy\right|\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )
\(b)\) Giả sử \(\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x-y\right|\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)^2\le\left|x-y\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2-2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\le\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2\left|xy\right|+y^2\le x^2-2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(-2\left|xy\right|\le-2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )
Chúc bạn học tốt ~
T
2
G
5 tháng 3 2019
Ta có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{xy}\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^3y+xy^3}{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(đúng)
Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y
NB
2
4 tháng 6 2017
nãy đánh đi đánh lại máy 2 lần => olm bị lỗi hay sao á , bị kiểu này suốt , bực mik quá
================================
Hướng dẫn :
-C.M 2(x2 + y2 + z2 )\(\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)( => dùng AM-GM)
- CM : x2 +1+y2+1+z2+1 \(\ge2\left(x+y+z\right)\) ( => nhóm x2 +1 , y2 +1 , z2 +1 => dùng AM -GM sau đó cộng vế với vế)
Cộng vế với vế của 2 cái vừa c.m
3(x2+y2+z2) +3 \(\ge12\)
Đến đây ok rồi
WR
4 tháng 6 2017
\(\left(x-1\right)^2>=0< =>x^2>=2x-1.\)
Tương tự:\(y^2>=2y-1,z^2>=2z-1.\)
\(=>x^2+y^2+z^2>=2\left(x+y+z\right)-3.\left(1\right).\)
ta có:\(x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz.\)
Thật vậy khi ta nhân 2 vế với 2 rồi chuyển vế sẽ được
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2>=0\left(lđ\right).\)
\(=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)>=2\left(xy+yz+xz\right).\left(2\right).\)
Từ (1) và (2)
\(=>3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=2\left(xy+yz+xz+x^2+y^2+z^2\right)-3=9.\)
\(=>x^2+y^2+z^2>=3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1
18 tháng 4 2016
Bài toán sai.
Ví dụ: a \(\ge\) b \(\ge\) c 1
Thì có a=1, b=1, c=1
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{b+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}<2\)
HP
1
KY
13 tháng 9 2019
Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+1\right)^2}{4}\ge x\)
Thật vậy: \(\left(x-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1\ge4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\ge4x\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{4}\ge x\)(đpcm)
TN
30 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a+b+c+}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
OT
18 tháng 4 2016
999 - 888 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111
= 111 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111
= 0 + 111 - 111 + 111 - 111
= 111 - 111 + 111 - 111
= 0 + 111 - 111
= 111 - 111
= 0
PD
2
LM
2 tháng 9 2016
a/ Giả sử: |x| + |y| < |x + y| => ( |x| + |y| )2 < ( |x + y|2) => x2 + 2 . |x| . |y| + y2 < x2 + 2xy + y2 => |x| . |y| < xy (Vô lý)
=> |x| + |y| \(\ge\) |x + y|
b/ Giả sử: |x| - |y| > |x - y| => ( |x| - |y| )2 > ( |x - y|2) => x2 - 2 . |x| . |y| + y2 < x2 - 2xy + y2 => - |x| . |y| > -xy (Vô lý)
=> |x| - |y| \(\le\) |x - y|
LM
2 tháng 9 2016
Cách 2:
a/ Giả sử: |x| + |y|\(\ge\)|x + y| => ( |x| + |y| )2 \(\ge\) ( |x + y|2) => x2 + 2 . |x| . |y| + y2 \(\ge\) x2 + 2xy + y2 => |x| . |y| \(\ge\) xy (Bất đẳng thức đúng)
Vậy |x| + |y| \(\ge\) |x + y|
b/ Giả sử: |x| - |y| \(\le\)|x - y| => ( |x| - |y| )2 \(\le\)( |x - y|2) => x2 - 2 . |x| . |y| + y2 \(\le\)x2 - 2xy + y2 => - |x| . |y| \(\le\) -xy (Bất đẳng thức đúng)
Vậy |x| - |y| \(\le\) |x - y|
5 tháng 2 2020
a) ta có : 12.1 < 20 ; 12.2 > 20 và 12.4 > 50 nên các số tự nhiên x sao cho : x thuộc B(12) và 20 nhỏ hơn hoặc bằng x lớn hơn hoặc bằng 50 là 24 , 36 , 48 .
5 tháng 2 2020
b) ta có : 15.0 = 0 ; 15.1=15 > 0 và 15.2< 40 ; 15.3 > 40 nên các số tự nhiên x sao cho : x chia hết cho 15 và 0 < x < hoặc bằng 40 là 15 và 30
Đề bài sai nếu \(x;y\in R\)
Cho \(y=4;x=-0,000001\) thì vế trái ra 1 số âm có trị tuyệt đối cực to
Đề đúng phải là \(x;y\in R^+\)
Làm trong trường hợp đề đã chỉnh lại:
\(VT=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{y}{2}+\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}.3=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)