1) Cho a, b là các số dương chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) ≥ \(\frac{4}{a+b}\)
2) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\) + \(\frac{1}{a+c-b}\) + \(\frac{1}{b+c-a}\) ≥ \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\)
...
Đọc tiếp
1) Cho a, b là các số dương chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) ≥ \(\frac{4}{a+b}\)
2) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\) + \(\frac{1}{a+c-b}\) + \(\frac{1}{b+c-a}\) ≥ \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\)
1.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si thôi:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" khi a = b
2.
Vì a,b,c là ba cạnh tam giác nên dễ thấy các mẫu số dương.
Áp dụng câu 1 ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay tam giác đó đều.