Cho x, y , z > 0 thỏa mãn xyz = 1
Tìm GTLN của biểu thức : M = \(\frac{2018}{x^3+y^3+1}+\frac{2018}{y^3+z^3+1}+\)\(\frac{2018}{z^3+x^3+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
3 tháng 3 2018
Theo đề bài để tồn tại phân số: \(\frac{1}{x+y+z}\) ta có: \(x+y+z\ne0\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}=2\Leftrightarrow x+y+z=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=\frac{1}{2}-z\\y+z=\frac{1}{2}-x\\z+x=\frac{1}{2}-y\end{cases}}\)
Thay vào đề bài ta có: \(\frac{\frac{1}{2}-x+1}{x}=\frac{\frac{1}{2}-y+2}{y}=\frac{\frac{1}{2}-z-3}{z}=2\)
Dễ dàng tìm được x;y;z rồi thay vào b thức
20 tháng 12 2017
Trước tiên chứng minh:
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Áp dụng bài toán được
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)
Sử dụng bất đẳng thức:
\(x^3+y^3\ge3xy\left(x+y\right)\)
Có: \(M=2018\left(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{xz\left(x+z\right)+xyz}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{xz\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{x+y+z}{x+y+z}\right)=2018\)
Vậy Max M=2018 khi x=y=z=1
Sửa lại \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Xin lỗi