K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 4 2019

Đây là bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel

Bạn có thể xem chi tiết tại Ứng dụng bất đẳng thức cauchy–schwarz dạng engel trong chứng minh bất đẳng thức - Giáo Án Điện Tử

Chứng minh :

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel cho 2 số :

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(*)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge xy\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2-2abxy+a^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Áp dụng chứng minh bđt Cauchy Schwarz dạng Engel cho 3 số :

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

25 tháng 4 2019

Dùng Bunhiacopxki cũng hay =))

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right].\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

NV
7 tháng 6 2020

Điều kiện là a;b;c dương:

Trước hết ta chứng minh: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(bx^2+ay^2\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow abx^2+aby^2+b^2x^2+a^2y^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Do đó:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)\(\Rightarrow...
Đọc tiếp

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)

CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)

ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)

TA CÓ:

\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:

\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)

 

2
10 tháng 9 2018

tự ra câu hởi tự trả lời à bạn

10 tháng 9 2018

tại tui trả lời bài này cho 1 bạn ở trên facebook nên phải chụp màn hình lại nên làm v á

25 tháng 4 2020

\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

NV
25 tháng 4 2020

a/ Một cách đơn giản hơn:

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)

\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)

\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

13 tháng 1 2019

Ta có bđt : \(\frac{m^2}{n}+\frac{p^2}{q}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)\(\left(m,n,p,q>0\right)\)(1)

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{m^2q+p^2n}{nq}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)

                       \(\Leftrightarrow m^2n\left(n+q\right)+p^2n\left(n+q\right)\ge nq\left(m+p\right)^2\)

                      \(\Leftrightarrow............\)(Phá tung ra + chuyển vế)

                      \(\Leftrightarrow\left(mq-pn\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Áp dụng (1) ta được

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(ĐPCM)

Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

P/S: nếu hỏi tại sao chỗ bđt phụ lại đặt m,n,p,q khó nhìn thì hãy bảo tại cái đề bài đã có a,b,x,y rồi -.-

14 tháng 1 2019

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\)\(\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Hay \(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Chia hai vế của BĐT cho (a + b + c),ta có đpcm: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

8 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))

8 tháng 11 2019

\(\)\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow a^2y\left(x+y\right)+b^2x\left(x+y\right)\ge\left(a+b\right)^2xy\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy-\left(a+b\right)^2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)

Vậy BDT luôn đúng

Áp dụng tương tự với \(\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\)là có thể CM dc

BDT thức này gọi là Cauchy-Schwarz bạn nhé!

13 tháng 2 2020

Mấy cái dấu "=" anh tự xét.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)

a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)

1 tháng 3 2017

đây là BĐT Cauchy-Schwar dạng Engel cho 3 số, cách c/m tổng quát ở đây 12 cách chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky Cauchy Schwarz – Math2IT

11 tháng 11 2019

Áp dụng bất đẳn thức Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)=\)\(\left[\frac{a^2}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\frac{b^2}{\left(\sqrt{y}\right)^2}+\frac{c^2}{\left(\sqrt{z}\right)^2}\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)

          \(\ge\left(\frac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)=\left(a+b+c\right)\)\(\left(đpcm\right)\)

11 tháng 11 2019

ấy chết em quên ko có mũ 2