cho a,b dương và a+b=9
chứng minh a2b<=4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Ta có K = 2 a 6 b − 4 = 2 2 2 b 3 − 4 = 2.5 3 − 4 = 246
Phương Khánh Thực ra là ban đầu mình tính dùng Bunyakovski thẳng luôn nhưng thấy bậc khá cao mà không biết BĐT đó đúng hay sai nên mình đảo a, b, c xuống mẫu để dùng BĐT Bunyakovski thì bậc sẽ thấp hơn.
Và không ngờ sự vô tình đó giúp mình gặp may mắn: Đại lượng abc ở \(\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\) có thể giản ước cho đại lượng abc ở VP. Bậc của BĐT được hạ thấp và mình cứ thế mà chém:))
Áp dụng BĐT Bunyakovski\(,\) ta có: \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\ge9abc\)
Bất đẳng thức cuối tương đương: \(\left(a+b+c\right)^3\ge9\left(ab+bc+ca\right)\) \((\ast)\)
Có: \(3=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\therefore\left(ab+bc+ca\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2-3}{2}\)
\((\ast)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\frac{9}{2}\)\(\Big[(a+b+c)^2-3\Big] \)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+3\right)\left(a+b+c-3\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\). Done.
BĐT \(\Leftrightarrow a^3-b^3+a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+ab\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(a\geq b\)).
Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái.
=> VT = VP (đpcm)
Gọi P = a2b . Vì a, b dương a + b = 9 nên b = 9 - a , P = a2b = a2(9 - a) . Do đó 2P = a2(18 - 2a) = a.a.(18 - 2a) . Áp dụng BĐT CoSi với ba số không âm a, a , 18 - 2a ta có: \(2P=a.a.\left(18-2a\right)\le\left(\frac{a+a+18-2a}{3}\right)^3=6^3=216\Leftrightarrow P\le108.\)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = a = 18 -2a tức là khi a = 6 và b = 9 - 6 = 3. Trả lời : Nếu a, b dương, a + b = 9 thì a2b không lớn hơn 108. Đề bài sai đó bạn ơi.
Chẳng hạn bạn thử a = 1 và b = 8 thì a2b = 12.8 = 8 bé thua 4 chắc? Hoặc a = 2, b = 6 xem sao?
CHÚC BẠN HỌC CHĂM, HỌC GIỎI.